Suponha que, para todo t > 0 , f seja integrável em - t , t : suponha, ainda, que f x > 0 para todo x . Prove que

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ - t t f x   d x

Passo 1

Por definição, temos

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = ∫ - ∞ 0 f x   d x + ∫ 0 + ∞ f x   d x

Essas duas integrais, podemos calcular pelo limite

∫ - ∞ 0 f x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ - t 0 f x   d x

E

∫ 0 + ∞ f x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ 0 t f x   d x

Logo, temos que

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = ∫ - ∞ 0 f x   d x + ∫ 0 + ∞ f x   d x

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ - t 0 f x   d x + lim t → + ∞ ⁡ ∫ 0 t f x   d x

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ - t 0 f x   d x + ∫ 0 t f x   d x

Como f é integrável em - t , t , para todo t > 0 , não existe restrição quanto ao 0 , portanto podemos juntar os intervalos de integração, chegando em

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ - t t f x   d x

Passo 2

Mas se ainda não estiver satisfeito, vamos partir daqui

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ - t 0 f x   d x + ∫ 0 t f x   d x

Supondo que

∫ f x   d x = F x + C

Temos que

∫ a b f x   d x = F b - F ( a )

Então

∫ - t 0 f x   d x = F 0 - F ( - t )

E

∫ 0 t f x   d x = F t - F ( 0 )

Logo

∫ - t 0 f x   d x + ∫ 0 t f x   d x = F 0 - F - t + F t - F ( 0 )

Podemos cancelar F ( 0 ) , assumindo que ele seja um número finito, e ficamos com

∫ - t 0 f x   d x + ∫ 0 t f x   d x = F t - F - t

∫ - t 0 f x   d x + ∫ 0 t f x   d x = ∫ - t t f x   d x

E podemos afirmar que, se

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ - t 0 f x   d x + ∫ 0 t f x   d x

Então

∫ - ∞ + ∞ f x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ - t t f x   d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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