Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 39
Dada , prove que tem uma inversa e calcule .
Passo 1
Então galera, pode ser que você tenha tentado resolver do jeito que parece ser o certo, que é resolvendo aquela integral por algum método, depois descobrindo quanto vale a inversa, assim como sua derivada, e depois substituindo o ponto . Esse pensamento não está errado, no entanto, o problema aparece para resolver aquela integral ali! É uma integral extremamente difícil de se resolver! Sendo assim, vamos utilizar outro raciocínio, ok? Um raciocínio bom é utilizarmos o teorema fundamental do cálculo, se liga!
Se chamarmos e utilizarmos a regra da cadeia, teremos:
Passo 2
Se observarmos com cuidado a função que obtivemos no passo anterior, podemos concluir algumas coisas. A primeira coisa é que é contínua, certo? Sendo assim, se é contínua, então também é. Ademais, podemos notar que nunca será negativa, então é crescente. Se isso ocorre, segundo os teoremas do capítulo 7 do Leithold, então admite uma inversa. De acordo com o teorema 4 da seção 7.2 do Leithold, temos:
No qual . Como a questão pede para que calculemos para , então teremos o seguinte:
Para isso dar zero, galera, isso implica que , porque aí teríamos intervalos de integração iguais, o que faz com que uma integral dê zero! Sendo assim, temos: