Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x, t ou theta , conforme o caso.

y = ln(x) / (1 + ln(x))

Passo 1

Aqui temos um quociente, então vamos ter que usar a regra do quociente que diz que se y = f ( x ) / g x , então

y ' = f ' x g x - g ' x f x g 2 x

Fica atento naquele sinal de menos safado alí no meio!

Passo 2

Aqui temos que f x = ln ⁡ x e g x = 1 + ln ⁡ x . Então, vamos calcular as derivadas dessas funções:

f ' x = 1 x = x - 1

g ' x = 1 + ln ⁡ x ' = 1 ' + ln ⁡ x ' = 0 + 1 x = x - 1

Passo 3

Juntando tudo temos que

y ' = x - 1 1 + ln ⁡ x - x - 1 ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 = x - 1 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 = x - 1 1 + ln ⁡ x 2

Resposta

y ' = x - 1 1 + ln ⁡ x 2

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