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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 27

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x

Passo 1

Aqui temos um quociente, então vamos ter que usar a regra do quociente que diz que se y = f ( x ) / g x , então

y ' = f ' x g x - g ' x f x g 2 x

Fica atento naquele sinal de menos safado alí no meio!

Passo 2

Aqui temos que f x = ln ⁡ x e g x = 1 + ln ⁡ x . Então, vamos calcular as derivadas dessas funções:

f ' x = 1 x = x - 1

g ' x = 1 + ln ⁡ x ' = 1 ' + ln ⁡ x ' = 0 + 1 x = x - 1

Passo 3

Juntando tudo temos que

y ' = x - 1 1 + ln ⁡ x - x - 1 ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 = x - 1 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 = x - 1 1 + ln ⁡ x 2

Resposta

y ' = x - 1 1 + ln ⁡ x 2

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Nos Exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.39. y = ln ⁡ x + 1 5 x + 2 20
9. Suponha que a função derivável y = f ( x ) tenha uma inversa e que o gráfico de f passe pelo ponto ( 2 ,4 ) e tenha um coeficiente angular de 1 / 3 nesse ponto. Determine o valor de d f - 1 / d x e
Nos Exercícios 1-4:a. Determine f - 1 ( x ) .b. Esboce em um único gráfico f e f - 1 c. Calcule d f / d x em x = a e d f - 1 / d x em x = f ( a ) para mostrar que nesses pontos d f - 1 / d x = 1 / ( d
6.a. Mostre que h ( x ) = x 3 / 4 e k ( x ) = 4 x 1 / 3 são inversas uma da outra.b. Esboce h e k juntas em um intervalo de x suficientemente grande para mostrar o cruzamento de ambos em ( 2 ,2 ) e (
5.a. Mostre que f ( x ) = x 3 e g ( x ) = x 3 são inversas uma da outra.b. Esboce em um único gráfico f e g em um intervalo de x suficientemente grande para mostrar o cruzamento de ambos em ( 1 ,1 ) e