É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente contínuo. Determine ∫ C ∇ f ∙ d r , onde C tem equações paramétricas: x = t 2 + 1 ,y = t 3 + t ,0 ≤ t ≤ 1

Enunciado

Antes de qualquer coisa, vamos transformar essas equações paramétricas em uma função vetorial ou , tudo bem? Temos:

Mas para determinarmos a integral de linha temos que saber quanto vale , logo:

Como os valores de estão definidos em , isso implica que , então pelo teorema , segundo o Stewart, temos:

De acordo com o que nos foi dado, temos que o ponto inicial é em , logo:

Sendo assim:

Olhando na tabela que a questão nos fornece, e resulta em , então:

De acordo com o que nos foi dado, temos que o ponto final é em , logo:

Sendo assim:

Olhando na tabela que a questão nos fornece, e resulta em , então:

Agora que descobrimos os valores finais e iniciais que queríamos, basta utilizarmos a expressão do passo 1, se liga:

E é esse o nosso resultado!