Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 14
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
Passo 1
E aii, turma, tudo certo?
Essa questão nos deu um campo vetorial:
E pediu pra gente descobrir se ele é ou não um campo conservativo!
Se for, pediu também pra acharmos uma função potencial , ou seja:
Bom, um campo é conservativo se o rotacional
for igual a zero.
Então vamos começar calculando essas derivadas parciais e confirmando se o rotacional é ou não zero.
No caso do nosso campo:
Se o rotacional não for zero, o campo não é conservativo, e a questão termina!
Agora, se , o campo é conservativo, e aí vamos precisar encontrar . Pra isso, vamos usar de que:
Integrando as equações dos dois lados, temos:
E encontramos .
Passo 2
Pra calcular o rotacional, vamos começar com a primeira coordenada:
Quando fazemos a derivada em função de uma variável, as outras são constantes, então:
E:
Passo 3
Agora pra segunda coordenada:
Calculando as derivadas:
E a coordenada do rotacional é:
Aqui já acaba nossa questão!
Pra termos , precisamos que todas as coordenadas de sejam , como
Podemos afirmar que:
Então não é conservativo!
Resposta
O campo é não conservativo.