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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 8b

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F → x , y = arctg ⁡ x y , a r c t g ⁡ ( y z ) , a r c t g ⁡ ( z x )

Passo 1

Faala, galera!

Aqui a gente vai precisar calcular o divergente de um campo vetorial...

Vamos lembrar a fórmula do divergente: dado um campo F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , ele é calculado assim:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Nosso campo é:

F → x , y = arctg ⁡ x y , a r c t g ⁡ ( y z ) , a r c t g ⁡ ( z x )

Então:

P = arctg ⁡ x y

Q = arctg ⁡ y z

R = arctg ⁡ z x

O que a gente vai fazer é calcular essas três derivadas parciais e somar!

Pra essas contas, vamos usar a regra da cadeia:

∂ arctg ⁡ u ∂ x = 1 1 + u 2 ∙ ∂ u ∂ x

Passo 2

Começamos derivando P em função de x , com y , z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ arctg ⁡ x y ∂ x =

= 1 1 + x y 2 ∙ ∂ x y ∂ x = y 1 + x 2 y 2

Depois derivando Q em função de y , com x e z constantes:

∂ Q ∂ y = ∂ arctg ⁡ y z ∂ y =

= 1 1 + y z 2 ∙ ∂ y z ∂ y = z 1 + y 2 z 2

E finalmente, derivamos R em função de z , com x e y constantes:

∂ R ∂ z = ∂ arctg ⁡ z x ∂ z =

= 1 1 + z x 2 ∙ ∂ z x ∂ z = x 1 + z 2 x 2

Passo 3

E o divergente fica:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

div ⁡ F → = y 1 + x 2 y 2 + z 1 + y 2 z 2 + x 1 + z 2 x 2

Resposta

div ⁡ F → = y 1 + x 2 y 2 + z 1 + y 2 z 2 + x 1 + z 2 x 2

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