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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 7a

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais.

F → x , y = e x sen ⁡ y , e y sen ⁡ z , e z sen ⁡ x

Passo 1

Faala, pessoal!

Nessa questão, temos que encontrar o rotacional de um campo vetorial.

Se escrevermos F → x , y , z = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ , o rotacional é calculado assim:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

Nesse caso, como o campo é:

F → x , y = e x sen ⁡ y , e y sen ⁡ z , e z sen ⁡ x

Então:

P = e x sen ⁡ y

Q = e y sen ⁡ z

R = e z sen ⁡ x

Então vamos calcular essas derivadas parciais, e depois substituir tudo na fórmula do rotacional.

Passo 2

Pra primeira coordenada:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z

Derivando R em função de y , considerando x e z como constantes:

∂ R ∂ y = ∂ e z sen ⁡ x ∂ y = 0

Derivando Q em função de z , considerando x e y como constantes:

∂ Q ∂ z = ∂ e y sen ⁡ z ∂ z = e y cos ⁡ z

Então:

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z = - e y cos ⁡ z

Passo 3

A coordenada j ^ :

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x

Derivando P em função de z , considerando x e y como constantes:

∂ P ∂ z = ∂ e x sen ⁡ y ∂ z = 0

Derivando R em função de x , considerando y e z como constantes:

∂ R ∂ x = ∂ e z sen ⁡ x ∂ x = e z cos ⁡ x

E aí:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x = - e z cos ⁡ x

Passo 4

E a última coordenada:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Derivando Q em função de x , considerando y e z como constantes:

∂ Q ∂ x = ∂ e y sen ⁡ z ∂ x = 0

Derivando P em função de y , considerando x e z como constantes:

∂ P ∂ y = ∂ e x sen ⁡ y ∂ y = e x cos ⁡ y

Daí,

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = - e x cos ⁡ y

Passo 5

Voltando pro rotacional:

rot ⁡ F → = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

rot ⁡ F → = - e y cos ⁡ z i ^ - e z cos ⁡ x j ^ - e x cos ⁡ y k ^

Resposta

rot ⁡ F → = - e y cos ⁡ z i ^ - e z cos ⁡ x j ^ - e x cos ⁡ y k ^

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