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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 7e

Dadas as funções f (x) = 5 - 2 x e g (x) = 3 x^2 - 1 , determinar:

f ((5)/(2)) - (f^' ((5)/(2)))/(g^' ((5)/(2)))

Passo 1

Vamos primeiro calcular as derivadas f^' (x) :

f^' (x_1) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x_1 + Delta x) - f (x_1))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (5 - 2 (x + Delta x) - (5 - 2 x))/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (5 - 2 x - 2 Delta x - 5 + 2 x)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (- 2 Delta x)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) - 2 = - 2

Passo 2

Agora de e g^' (x) :

g^' (x_1) = underset(Delta x -> 0)(lim) (g (x_1 + Delta x) - g (x_1))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (3 (x + Delta x)^2 - 1 - (3 x^2 - 1))/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (3 (x^2 + 2 x Delta x + (Delta x)^2) - 1 - 3 x^2 + 1)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (3 x^2 + 6 x Delta x + 3 (Delta x)^2 - 3 x^2)/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (6 x Delta x + 3 (Delta x)^2)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) 6 x + 3 Delta x = 6 x + 3 * 0 = 6 x

Passo 3

Pronto, agora é só aplicar os pontos:

f ((5)/(2)) = 5 - 2 * (5)/(2) = 5 - 5 = 0

f^' ((5)/(2)) = - 2

g^' ((5)/(2)) = 6 * (5)/(2) = 15

Juntando tudo:

f ((5)/(2)) - (f^' ((5)/(2)))/(g^' ((5)/(2))) = 0 - (- 2)/(15) = (2)/(15)

Resposta

f ((5)/(2)) - (f^' ((5)/(2)))/(g^' ((5)/(2))) = (2)/(15)

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