Utilize a fórmula da área do teorema de Green fornecida acima para encontrar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas nos Exercícios 25-28

A elipse r(t) = (a cos t)i + (b sen t)j, 0 ≤ t ≤ 2p

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para este exercício você já sabe, pelo enunciado, que a fórmula da área do teorema de Green é dada por A = 1 2 ∮   C x d y - y d x . Assim, você vai utilizar essa fórmula para encontrar a área da região delimitada pela elipse r ‾ ( t ) = ( a c o s ⁡ t ) i ‾ + ( bsent ) j ‾ , com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 2

Inicie determinando os valores de M e N em termos do parâmetro t :

M = x = a c o s ⁡ t , N = y = b  sent . 

A seguir, determine seus respectivos diferenciais: d x = - a s e n t d t , d y = b c o s ⁡ t d t

Passo 3

Substituindo os valores de M e N com suas formas diferenciais em A = 1 2 ∮   C x d y - y d x , teremos:

A = 1 2 ∮     C x d y - y d x = 1 2 ∫ 0 2 π     a b c o s 2 ⁡ t + b a s e n 2 t d t A = 1 2 ∫ 0 2 π     a b + b a d t = π a b

Resposta

Dessa forma, você vai chegar ao resultado correto da área da elipse dada que é π a b .

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