Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 17
Demonstre a identidade
Passo 1
Oi, oiii, bora matar mais essa então?
Aqui, temos que provar a seguinte identidade:
Para isso, vamos usar o fato que a tangente é o seno sobre cosseno e isso também é válido para as funções hiperbólicas:
Além disso, também vamos usar as fórmulas do seno e do cosseno hiperbólico:
Com isso, a gente consegue começar... ah, nessa questão também vai ser importante saber que a função é o inverso da função , portanto, podemos sempre dizer que:
Ou que
Show?
Passo 2
Se já sabemos como calcular, agora é só substituir:
Então:
Mas não é bem isso que queremos, certo?
Nós queremos então bora substituir:
Sabemos pelas propriedades do ln que, quando um número está multiplicando o ln, ele pode ser transferido para o lugar do expoente (aquela famosa regra do peteleco):
Substituindo na nossa expressão, temos:
Também sabemos que:
Então:
Reorganizando:
Tirando o MMC:
Multiplicando pelo inverso da fração debaixo:
Concluindo:
E prontoo!
Resposta
Demonstração nos passos.