Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.10 - Ex. 1
Dado uma função e um número .
a) a) Mostre que .
b) Verifique o Teorema 2.10.1 para a função , encontrando um intervalo aberto contendo , tal que para todo no intervalo.
Passo 1
Bem, em questões de limites temos que primeiro ver o que ele está pedindo. As vezes pode ser apenas fazer um calculo mais simples. E outras vezes vamos precisar usar truques de cálculo. Desta vez o que ele pede é ver o que acontece se jogarmos nosso valor C no limite. Então vamos la!
Show!!! Mostramos que nosso limite é positivo, como ele pediu lá no início. Vamos avançar!
Passo 2
b) Primeiro, vamos ver o que esse teorema no diz:
Se existir e for positivo, então haverá um intervalo aberto contendo C, tal que para todo no intervalo.
Bem, ele então nos garante que podemos escrever um intervalo onde nossa função é só positiva. E melhor esse intervalo é mais que apenas um número que achamos para nossa função ser positiva ( Neste caso , )
Então vamos lá, precisamos fazer estudo de Sinais. Isso mesmo, seus estudos em pre-calculo estando sinais não foi em vão. Vamos usá-lo agora!
Então para nossa função ser positiva, pode ocorrer duas coisas. Ou denominador e numerador são negativos, ou os dois são positivos. Então temos que :
sempre, então isso nos força a char um intervalo onde o denominador seja positivo
Então achamos o intervalo que precisamos
Assim o conjunto solução é
Resposta
a)
b)
O conjunto solução é