Dado uma função f e um número c .

a) a) Mostre que lim x → c ⁡ f ( x ) > 0 .

b) Verifique o Teorema 2.10.1 para a função f , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que f ( x ) > 0 para todo x ≠ c no intervalo.

f x = 5 2 x + 4 ;   c = 3

Passo 1

Bem, em questões de limites temos que primeiro ver o que ele está pedindo. As vezes pode ser apenas fazer um calculo mais simples. E outras vezes vamos precisar usar truques de cálculo. Desta vez o que ele pede é ver o que acontece se jogarmos nosso valor C no limite. Então vamos la!

lim x → 3 ⁡ 5 2 x + 4 =   5 2 3 + 4

=   5 10

= 2 > 0

Show!!! Mostramos que nosso limite é positivo, como ele pediu lá no início. Vamos avançar!

Passo 2

b) Primeiro, vamos ver o que esse teorema no diz:

Se existir lim x → c ⁡ F ( x ) e for positivo, então haverá um intervalo aberto contendo C, tal que f x > 0 para todo x   ≠ c no intervalo.

Bem, ele então nos garante que podemos escrever um intervalo onde nossa função é só positiva. E melhor esse intervalo é mais que apenas um número que achamos para nossa função ser positiva ( Neste caso , c = 3 )

Então vamos lá, precisamos fazer estudo de Sinais. Isso mesmo, seus estudos em pre-calculo estando sinais não foi em vão. Vamos usá-lo agora!

Então para nossa função ser positiva, pode ocorrer duas coisas. Ou denominador e numerador são negativos, ou os dois são positivos. Então temos que :

5 2 x + 4

5 > 0   sempre, então isso nos força a char um intervalo onde o denominador seja positivo

  2 x + 4 > 0

x >   - 2

Então achamos o intervalo que precisamos

x > - 2

Assim o conjunto solução é

- 2 ,   + ∞

Resposta

a)

lim x → 3 ⁡ 5 2 x + 4 = 2 > 0

b)

O conjunto solução é - 2 ,   + ∞

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Seja f definida em um intervalo (a, b) e suponha que f(c) ≠ 0 em algum c onde f seja contínua. Mostre que há um intervalo (c - delta, c + delta) em torno de c onde f tem o mesmo sinal que f(c).
Prove que f é continua em c se, e somente se, underset(h - 0)(lim) f (c + h) = f (c) .
Suponha que um função f seja contínua no intervalo fechado [0,1] e que 0 ≤ f(x) ≤ 1 para qualquer x em [0,1]. Mostre que deve existir um numero c em [0,1], de modo que f(c) = c. (c é chamado de ponto
Se as funçõesf(x) ) e g(x) são contínuas para 0 ≤ x ≤ 1, f(x) / g(x) poderia ser descontínua em um ponto de [0, 1] ? Justifique sua resposta.
Use o exercício 69 juntamente com as identidades sen(h + c) = sen(h) * cos(c) + cos(h) * sen(c); cosh(h + c) = cosh(c) - senh(c); Para provar que tanto f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são continuas em q