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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.5 - Ex. 70

Use o exercício 69 juntamente com as identidades

s e n h + c = s e n   h cos ⁡ c + cos ⁡ h   s e n   c ;

c o s h + c = c o s   h cos ⁡ c - s e n   h   s e n   c ;

Para provar que tanto f ( x ) = s e n ( x ) e g x = c o s ⁡ ( x ) são continuas em qualquer ponto x = c .

Passo 1

Pelo exercício basta mostrar que lim h → 0 ⁡ s e n c + h = s e n ( c )

E também que

lim h → 0 ⁡ c o s c + h = c o s ( c )

Passo 2

Agora se liga nisso:

lim h → 0 ⁡ s e n c + h = lim h → 0 ⁡ s e n   h cos ⁡ c + cos ⁡ h   s e n   c

= s e n c l i m h → 0 cos ⁡ h + cos ⁡ c   l i m h → 0   s e n   h

Lembrando que

l i m h → 0 cos ⁡ h = 1

l i m h → 0   s e n   h = 0

Então

lim h → 0 ⁡ s e n c + h = lim h → 0 ⁡ s e n   h cos ⁡ c + cos ⁡ h   s e n   c

lim h → 0 ⁡ s e n c + h = s e n   c

Portanto f x = s e n x é contínua em x=c.

O mesmo vai acontecer pra o lim h → 0 ⁡ cos ⁡ c + h = l i m h → 0 c o s   h cos ⁡ c - s e n   h   s e n   c

cos ⁡ c   l i m h → 0 cos ⁡ h   - s e n   c   l i m h → 0   s e n   h  

= cos ⁡ h

Portanto será contínuo em x=c.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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No Exemplo 5, usamos o Teorema do Confronto para provar que: lim x → 0 ⁡ x . s e n1 x = 0 Por que não poderíamos ter obtido esse mesmo resultado escrevendo: lim x → 0 ⁡ x . s e n1 x = lim x → 0 ⁡ x .