Enunciado

Dado uma função g e um número c .

a) Mostre que lim x → c ⁡ g ( x ) < 0 .

b) Verifique o Teorema 2.10.2 para a função g , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que g ( x ) < 0 para todo x ≠ c no intervalo.

g x = 2 - 7 x + 3 x 2 2 - x ;   c = 2

Passo 1

  1. Por se tratar de uma indeterminação vamos aplicar uma manipulação no limite de forma a não alterar o seu resultado.

lim x → 2 ⁡ 2 - 7 x + 3 x 2 2 - x = lim x → 2 ⁡ ( 2 - x ) ( 3 x - 1 ) ( 2 - x )  

=   lim x → 2 ⁡ ( 3 x - 1 )

=   ( 3 ( 2 ) - 1 )

= 5 > 0

Não é possível mostrar que lim x → 2 ⁡ 2 - 7 x + 3 x 2 2 - x

Passo 2

b) Aplicando o caso 2 temos que

2 - 7 x + 3 x 2 < 0   e   2 - x > 0

2 - 7 x + 3 x 2 < 0   e   2 > x

( 2 - x ) ( 3 x - 1 ) < 0   e   2 > x

Aplicando o caso 2 em ( 2 - x ) ( 3 x - 1 )

2 - x > 0   e   3 x - 1 < 0

2 > x   e   x < 1 3

Assim o conjunto solução é - ∞ , 1 3

Resposta

a)

Não é possível mostrar que lim x → 2 ⁡ 2 - 7 x + 3 x 2 2 - x

b)

O conjunto solução é - ∞ , 1 3

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