Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.5 - Ex. 61
Uma função descontínua em todos os pontos
- Use o fato de que todo intervalo não vazio de números reais contém tanto números racionais quanto irracionais para mostrar que a função
- é contínua à direita ou à esquerda de algum ponto?
É descontinua em todos os pontos.
Passo 1
Para uma função ser contínua em um ponto , deve existir e o valor do limite quando de deve ser igual ao valor de . Este é o primeiro conceito que devemos saber para resolver esta questão. O outro, é obter o limite de uma função pela definição. De uma forma bem resumida, se, para cada , existir um número correspondente , de modo que, para qualquer valor de ,
Passo 2
Temos que ir bem devagar nesta questão para não nos perdemos. É sempre bom ter cautela ao trabalhar limites pela definição!
Vamos começar entendendo o que acontece no nosso intervalo. Seja um intervalo aberto centrado num ponto e de amplitude , então, ele pode ser escrito por . Vamos assumir que este nosso ponto é um número racional, por questões de conveniência mesmo. Logo, nosso intervalo é possui infinitos números irracionais, basta apena que (critério mínimo para que exista um intervalo!).
Pronto, já construímos um intervalo e sabemos que ele é centrado em um número racional e possui infinitos números irracionais. Já trabalhamos com a primeira parte da definição de limite, vamos então para a segunda.
Se é um número racional, , pela definição da questão. Portanto,
Mas como o intervalo contém números irracionais, podemos assumir , pela definição do limite. Substituindo isto na relação acima, obtemos:
Desta forma, temos a seguinte relação:
A definição de limite pede que, para qualquer , existe um que satisfaz aquela relação lá do passo 1. Se assumirmos , consequentemente, não existirá um , metade da amplitude de um intervalo aberto, que consiga satisfazer esta relação.
E se for irracional? pode funcionar. Teríamos a seguinte relação:
Tudo depende de , e consequentemente, do intervalo. Agora, se existe um número racional no intervalo, e consequentemente, pela mesma explicação, não existirá o limite! Portanto, acabamos de provar que não existe limite. E se não existe o limite, a função não é contínua!
Passo 3
Agora que provamos que não existe limite quando , podemos assumir automaticamente que os limites laterais não existem??? A resposta é clara: não! Uma coisa não influencia a outra. Por isto, vamos trabalhar com os limites laterais! Vamos trabalhar com o limite à direita primeiro
A única diferença para a definição do limite é que o intervalo que estamos analisando é . Contém somente números maiores que . A argumentação contínua exatamente a mesma da letra . Se for um número racional, o intervalo conterá infinitos números irracionais, e o limite não existirá pelas mesmas relações desenvolvidas no passo 2.
Já pela esquerda, cujo intervalo é , acontece o mesmo. Portanto, se os limites laterais não existem, a função não é contínua à direita ou à esquerda.
Resposta
- A função não é contínua à direita ou à esquerda.