Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x - 1 2 x 2 x 3

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x - 1 2 x 2 x 3 → e 0 - 1 - 0 - 1 2 0 2 0 3 → 1 - 1 0 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x - 1 2 x 2 x 3 = lim x → 0 ⁡ e x - 0 - x 1 - 1 - 1 2 . 2 . x 2 - 1 3 x 3 - 1 = lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x 3 x 2 → e 0 - 1 - 0 3 . 0 2 → 1 - 1 0 → 0 0

Vamos usar L'Hôspital mais uma vez:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ e x - 0 - x 1 - 1 3 . 2 . x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ e x - 1 6 x → e 0 - 1 6 . 0 → 1 - 1 0 → 0 0

Ainda não foi, vamos usar a regra mais uma vez:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 6 x = lim x → 0 ⁡ e x - 0 6 x 1 - 1 = lim x → 0 ⁡ e x 6 = e 0 6 = 1 6

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x - 1 2 x 2 x 3 = 1 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use Lh’hospital para determinar o limite lim x → π 2 -⁡ sec ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x
Use Lh’hospital para determinar o limite lim x → ∞ ⁡x 3 x 2 - 1 - x 3 x 2 + 1
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ s e n ( m x ) s e n ( n x )
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ s e n 2 x t g x 2
13 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo: lim t → 0 ⁡ s e n( t 2 ) t