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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 329 b

Dado o sistema

sen ⁡ x + y + sen ⁡ x - y = 2 sen ⁡ x + cos ⁡ y = 2

a) mostre que o par x 0 , y 0 , com x 0 = 2 π e y 0 = π / 2 , não é solução do sistema;

b) resolva o sistema, determinando todas as soluções (x, y).

Passo 1

E aí galerinha?

Para resolver a letra B, vamos utilizar a fórmula da soma dos senos. Depois iremos utilizar nosso resultado da fórmula junto com a 2º equação e chegaremos a uma equação do 2º grau cuja raiz nos dará o valor do seno de x. E assim conseguiremos calcular tanto o valor de x quanto o de y.

sen ⁡ A + sen ⁡ B   = 2 ∙ sen ⁡ A + B 2 ∙ cos ⁡ A - B 2

Ok? Vamos nessa!

Passo 2

Aplicando a fórmula temos:

sen ⁡ x + y + sen ⁡ x - y = 2 ∙ sen ⁡ 2 x 2 ∙ cos ⁡ 2 y 2  

sen ⁡ x + y + sen ⁡ x - y = 2 ∙ sen ⁡ x ∙ cos ⁡ y

Assim,

2 ∙ sen ⁡ x ∙ cos ⁡ y = 2 sen ⁡ x + cos ⁡ y = 2 → sen ⁡ x ∙ cos ⁡ y = 1 sen ⁡ x + cos ⁡ y = 2

Da segunda equação podemos isolar uma das funções trigonométricas e substituir na primeira.

sen ⁡ x + cos ⁡ y = 2 → cos ⁡ y = 2 - sen ⁡ x

Então,

sen ⁡ x ∙ cos ⁡ y = 1 → sen ⁡ x 2 - sen ⁡ x = 1

2 sen ⁡ x -   sen 2 ⁡ x = 1

sen 2 ⁡ x - 2 sen ⁡ x + 1   = 0

Perceba que isso é uma equação do 2º grau, portanto podemos calcular suas raízes. Calculando o delta temos:

∆   = b 2 - 4 a c → ∆   = - 2 2 - 4 ∙ 1 ∙ 1 = 4 - 4 = 0

Isso significa que nossas raízes são iguais.

Agora, para facilitar vamos fazer: u = sen ⁡ x

u = - b ± ∆ 2 a → u =   - ( - 2 ) ± 0 2 ∙ 1 = 2 2 = 1

Então: u = 1 → u = sen ⁡ x   = 1

Portanto, o nosso x é:

x = π 2 + 2 k π

E o nosso y é:

sen ⁡ x + cos ⁡ y = 2 → 1 + cos ⁡ y = 2

cos ⁡ y = 1

y = 2 k π

Resposta

b ) x = π 2 + 2 k π   e   y = 2 k π

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