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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 17

Dado que y = ∑ n = 0 ∞ n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatro primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral.

Passo 1

Fala galera!!!

O problema nos forneceu a seguinte série:

y = ∑ n = 0 ∞ n x n

Nosso objetivo, é encontrar o valor  y ' e y ' ' e escrever os quatro primeiros termos de cada série e também escrever o coeficiente de  x n no termo geral.

Passo 2

Vamos começar a resolver esse questão calculando y ' . Para isso podemos expandir a série y da seguinte maneira:

y = ∑ n = 0 ∞ n x n

y = ∑ n = 0 ∞ n x n = 0 + x + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + … + n x n + n + 1 x n + 1 + …

y = x + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + … + n x n + n + 1 x n + 1 + …

Agora, vamos diferenciar a equação acima em relação a x . Dessa forme temos:

d d x y = d d x x + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + … + n x n + n + 1 x n + 1 + …

y ' = 1 + 4 x + 9 x 2 + 16 x 3 + … + n 2 x n - 1 + n + 1 2 x n + …

Assim, os 4 primeiros termos da série de y ' são:

y ' = 1 + 4 x + 9 x 2 + 16 x 3 + …

Podemos ver que os termos da série acima segue o seguinte padrão:

y ' = 2 2 + 3 3 x + 4 2 x 2 + 5 2 x 3 + …

y ' = 0 + 1 2 x 0 + 1 + 1 2 x 1 + 2 + 1 2 x 2 + 3 + 1 2 x 3 + … + n + 1 2 x n + …

Logo, o coeficiente de x n do termos geral é:

n + 1 2

Podemos escrever a série da seguinte maneira:

y ' = ∑ n = 1 ∞ n 2 x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 x n

Passo 3

Agora, queremos encontrar y ' ' . Para isso podemos expandia a série y ' da seguinte maneira:

y ' = ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 x n

y ' = ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 x n = 1 + 4 x + 9 x 2 + 16 x 3 + 25 x 4 + … + n + 1 x n + n + 2 x n + 1 + …

y ' = 1 + 4 x + 9 x 2 + 16 x 3 + 25 x 4 + … + n + 1 x n + n + 2 x n + 1 + …

Agora, vamos diferencia a série acima em relação a x . Assim temos:

d d x y ' = d d x 1 + 4 x + 9 x 2 + 16 x 3 + 25 x 4 + … + n + 1 x n + n + 2 x n + 1 + …

y ' ' = 0 + 4 + 18 x + 48 x 2 + 100 x 3 + … + n n + 1 2 x n - 1 + n + 1 n + 2 2 x n + …

y ' ' = 4 + 18 x + 48 x 2 + 100 x 3 + … + n n + 1 2 x n - 1 + n + 1 n + 2 2 x n + …

Assim, os 4 primeiros termos da série de y ' são:

y ' ' = 4 + 18 x + 48 x 2 + 100 x 3 + …

Podemos ver que os termos da série acima segue o seguinte padrão:

y ' ' = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 9 x + 3 ⋅ 16 x 2 + 4 ⋅ 25 x 3 + …

y ' ' = 1 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 3 3 x + 3 ⋅ 4 2 x 2 + 4 ⋅ 5 2 x 3 + …

y ' ' = 0 + 1 0 + 2 2 x 0 + 1 + 1 1 + 2 2 x 1 + 2 + 1 2 + 2 2 x 2 + 3 + 1 3 + 2 2 x 3 + … + n + 1 n + 2 2 x n + …

Logo, o coeficiente de x n do termos geral é:

n + 1 n + 2 2

Podemos escrever a série da seguinte maneira:

y ' ' = ∑ n = 2 ∞ n - 1 n 2 x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 2 x n

Resposta

y ' = 1 + 4 x + 9 x 2 + 16 x 3 + …

y ' = ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 x n

y ' ' = 4 + 18 x + 48 x 2 + 100 x 3 + …

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 2 x n

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