Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 27

Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .

27.

x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n

Passo 1

Fala galera!!!

Para resolver essa questão, precisamos fazer com que o termo geral da série

x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n

passa ficar como uma soma cujo termo genérico envolve  x n .

Passo 2

A expressão fornecida contém dois somatórios. Assim, vamos mexer neles separadamente.

Para o primeiro somatório, vamos colocar o x para dentro do somatório. Assim temos:

x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

= ∑ n = 2 ∞ x n n - 1 a n x n - 2

= ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + 1

= ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 1

Agora, podemos fazer n = k + 1 . Assim temos:

= ∑ k + 1 = 2 ∞ k + 1 k + 1 - 1 a k + 1 x k + 1 - 1

= ∑ k = 2 - 1 ∞ k + 1 k + 1 - 1 a k + 1 x k + 1 - 1

= ∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k + 1 x k

= ∑ k = 1 ∞ k k + 1 a k + 1 x k

Temos que a série acima pode ser escrita da seguinte forma:

∑ k = 1 ∞ k k + 1 a k + 1 x k = ∑ k = 0 ∞ k k + 1 a k + 1 x k

onde o isso pode ser verificada escrevendo os primeiros termos. Assim temos:

2 a 2 x 1 + 6 a 3 x 2 + … + k k + 1 a k + 1 x k = 0 + 2 a 2 x 1 + 6 a 3 x 2 + … + k k + 1 a k + 1 x k

2 a 2 x 1 + 6 a 3 x 2 + … + k k + 1 a k + 1 x k = 2 a 2 x 1 + 6 a 3 x 2 + … + k k + 1 a k + 1 x k

Podemos substituir a variável muda k por n . Assim temos:

∑ k = 0 ∞ k k + 1 a k + 1 x k = ∑ n = 0 ∞ n n + 1 a n + 1 x n

Passo 3

Temos então que a serie fica da seguinte maneira:

x ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ a n x n

= ∑ n = 0 ∞ n n + 1 a n + 1 x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n

Juntando os dois somatórios, temos:

= ∑ n = 0 ∞ n n + 1 a n + 1 x n + a n x n

= ∑ n = 0 ∞ n n + 1 a n + 1 + a n x n

Portanto, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n é

∑ n = 0 ∞ n n + 1 a n + 1 + a n x n

Resposta

∑ n = 0 ∞ n n + 1 a n + 1 + a n x n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

a ) O que é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra? b ) O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .21. ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2
Em cada um dos problemas 19 e 20, verifique a equação dada.19. ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x - 1 n
Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .22. ∑ n = 0 ∞ a n x n + 2
Em cada um dos problemas 19 e 20, verifique a equação dada.20. ∑ k = 0 ∞ a k + 1 x k + ∑ k = 0 ∞ a k x k + 1 = a 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k + 1 + a k - 1 ) x k