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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 31h

Dar o domínio das seguintes funções vetoriais:

vec r (x , y , z) = sqrt(2 - x^2 - y^2) vec i + sqrt(1 - x^2 - y^2) vec j + z vec k

Passo 1

Pra resolver essa, a gente tem que pensar no que a gente sempre pensa quando pensa em domínio de função. O que é que pode dar ruim? Por exemplo, se a gente tem uma raiz, a gente vai ter que fazer o que tá dentro dela ser maior ou igual a zero. Se a gente tem um denominador, a gente faz ele ser diferente de 0 . Se a gente tem logaritmo, a gente vê se o logaritmando é maior que 0 , e por aí vai, sacou? É o que vamos fazer aqui nessa questão.

Passo 2

A nossa função é:

vec r (x , y , z) = sqrt(2 - x^2 - y^2) vec i + sqrt(1 - x^2 - y^2) vec j + z vec k

E de novo vem a pergunta: o que pode dar ruim? Bom, nessa aí a gente tem duas raízes, e portanto, vamos ter que garantir que o que tá dentro delas é maior ou igual a zero.

{[[2 - x^2 - y^2 >= 0],[1 - x^2 - y^2 >= 0]]) -> {[[x^2 + y^2 <= 2],[x^2 + y^2 <= 1]])

Tá vendo que a segunda restrição é “mais forte” que a segunda? Se uma parada é menor ou igual a 1 , ela é necessariamente menor ou igual a 2 , então podemos abandonar essa primeira. Ficamos com:

x^2 + y^2 <= 1

Beleza, essa é a única restrição, para x , y , e z reais. Assim, o domínio é:

{(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 <= 1}

Resposta

{(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 <= 1}

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