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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.5 - Ex. 31

Decaimento radioativo: A meia-vida do fósforo-32 é de cerca de 14 dias. Havia 6,6 gramas presentes inicialmente.

  1. Expresse a quantidade de fósforo-32 remanescente em função do tempo t .
  2. Quando restará 1 grama?

Passo 1

Como toda questão contextualizada de matemática, a maior dificuldade é obter um modelo matemático para o problema. Para podermos fazer quaisquer análises, precisamos determinar inicialmente a equação que rege o nosso problema. Interessantemente, é isto o que nos pedem na letra a ) . Somente conseguiremos resolver a letra b ) se resolvermos a sua letra antecessora. E como faremos isto então?

Antes de começarmos a discutir a modelagem, vamos relembrar o que é um tempo de meia-vida. Elementos radiativos são instáveis. Com a passagem do tempo, eles tendem a emitir radiação para voltar a estados energéticos estáveis. O tempo necessário para que ele reduza sua quantidade pela metade é denominado tempo de meia-vida.

Passo 2

Para descobrirmos qual equação rege o tempo de meia-vida, temos duas opções: estudar química ou utilizar raciocínios lógicos. Para esta questão, optaremos pela segunda opção.

Como conhecemos a definição do que é o tempo de meia vida, e sabendo que ela possui um comportamento exponencial, a sua equação deve ser do tipo:

M a s s a f i n a l = M a s s a i n i c i a l ⋅ 1 2 n

Ao passar um tempo de meia-vida, a massa reduz pela metade. Com a passagem de dois tempos, a massa se reduz a um quarto. E assim por diante. Nos falta apenas descobrir quem é esse n , quem é esse tempo de meia-vida. No caso do fósforo-32, um tempo de meia-vida equivale a 14 dias. Sendo assim, em relação a uma quantidade de t dias quaisquer, faremos a seguinte regra de três:

1 →                                                                                 14   d i a s n →                                                                               t

n = t 14

Portanto, após 14 dias, teremos n = 14 14 = 1 tempo de meia-vida (resultado esperado) e assim por diante. Portanto, o modelo que rege o nosso problema é:

M a s s a f i n a l = M a s s a i n i c i a l ⋅ 1 2 t / 14

Passo 3

Na letra b ) queremos descobrir quanto tempo ( t ) é necessário para que, sabendo que M a s s a i n i c i a l = 6,6   g , a M a s s a f i n a l seja igual a 1 g. Para isto, basta resolver a seguinte equação:

1 = 6.6 ⋅ 1 2 t / 14

Resolvendo esta equação utilizando uma calculadora, obtemos:

t = 38.1   d i a s

Resposta

  1. M a s s a f i n a l = M a s s a i n i c i a l ⋅ 1 2 t / 14
  2. t = 38.1   d i a s
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