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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 76

Deduza a fórmula s e n h - 1 x =   ln ⁡ x 2 + 1     para qualquer x real. Explique em sua dedução por que na raiz quadrada é usado o sinal de mais, em vez do sinal de menos.

Passo 1

Vamos colocar y = s e n h - 1 x e deduzir a parte do logaritmo no desenvolvimento...

y = s e n h - 1 x → y = 1 s e n h   x → x = s e n h   y (função inversa)

Usando agora a definição de s e n h   x temos:

s e n h   y =   e y - e - y 2

Então temos:

x = e y - e - y 2 → 2 x = e y - e - y → 2 x = e y - 1 e y → 2 x e y = e 2 y - 1

2 x e y - e 2 y + 1 = 0    

Agora a gente faz uma mudança pra ficar mais fácil...

a = e y

Aí a gente reescreve assim:

2 a x - a 2 + 1 = 0 = a 2 - 2 a x - 1 = 0

Equação do segundo grau, galerinha....

Passo 2

a 2 - 2 a x - 1 = 0

Vamos jogar Bháskara e encontrar o valor de a :

a =   2 x ± ( 2 x ) 2 - 4 1 - 1 2 ( 1 ) =   2 x ± 4 x 2 + 4   2 = 2 x + 2 x 2 + 1 2 = x ± x 2 + 1

Então...

a = x ± x 2 + 1 = e y

Observe que e y > 0 sempre, então não podemos escolher e y = x - x 2 + 1 pois seria negativo. Ficamos então com e y = x + x 2 + 1

Tirando o logaritmo natural dos dois lados...

ln ⁡ e y = ln ⁡ x + x 2 + 1

y =   ln ⁡ x + x 2 + 1

s e n h - 1 x =   ln ⁡ x + x 2 + 1

Chegamos à fórmula pedida.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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