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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 66

Se

f (x) = {[[0 , a <= x < c],[k , x = c],[1 , c < x <= b]])

Prove que f é integrável em [a,b] e int_a^b f (x) d x = b - c

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Nossa função tem 3 intervalos x : [a,c) ; c ; (c,b]. Ondem separadamente são contiuos. E se uma função é continua é, portanto, integrável. Então, Vamos integrar nesses 3 intervalos

int_a^b f (x) d x = int_b^c f (x) d x + int_c^c f (x) d x + int_c^b f (x) d x

Passo 3

Substituindo os valores de f(X) nos intervalos

int_a^b f (x) d x = int_b^c 0 d x + int_c^c k d x + int_c^b 1 d x

Integral de 0 = 0

Integral num intervalo [c,c] = 0

Logo

int_a^b f (x) d x = int_c^b 1 d x

=X , entre [b,c ]

= b- c

Resposta

int_a^b f (x) d x = b - c

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