Prove a terceira lei dos logaritmos. [Sugestão: Comece mostrando que ambos os lados da equação têm a mesma derivada].

Passo 1

A lei que desejamos demonstrar é a seguinte

ln ⁡ x r = r ⋅ ln ⁡ x

E o enunciadao diz para tentarmos provar que ambos os lados da igualdade possuem a mesma derivada. Vamos seguir por esse caminho então.

Se provarmos que:

f ' x = g ' x

Então podemos dizer que:

f x = g x + C

Passo 2

Sendo assim, tomemos a seguinte curva

f x = ln ⁡ x r

Se derivarmos essa curva vamos obter

f ' x = r ⋅ x r - 1 x r = r x

Agora, se pegarmos a seguinte outra curva dada por g x = r ⋅ ln ⁡ x sua derivada será dada por

g ' x = r x

Sendo assim, podemos concluir que f e g diferem por uma constante, ou seja,

ln ⁡ x r = r ⋅ ln ⁡ x + C

Tomando x = 1 , vamos obter

ln ⁡ 1 r = r ⋅ ln ⁡ 1 + C

C = 0

Descobrindo que essa constante vale portanto zero, temos então que:

ln ⁡ x r = r ⋅ ln ⁡ ( x )

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Demostração nos Passos.

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