Calcule a integral.

∫ d x x 4 - 16

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

De cara a gente pode notar que teremos que manipular essa integral para poder resolver... Vamos reescreve-la da seguinte maneira:

∫ d x x 4 - 16 = ∫ d x x 2 2 - 4 2

Sabendo que x 2 - y 2 = ( x + y ) ( x - y ) , podemos fatorar ainda mais a nossa integral.

∫ d x x 2 2 - 4 2 = ∫ d x x 2 + 4 x 2 - 4

Quando você ver uma integral assim, já reconhece que ela vai sair por frações parciais.

O grai do numerador é menor que o grau do denominador. Temos que:

1 x 4 - 16 = 1 x 2 + 4 x 2 - 4

1 x 4 - 16 = A x + B x 2 + 4 + C x + D x 2 - 4

Tirando o mmc, temos:

1 x 4 - 16 = A x + B x 2 - 4 + C x + D x 2 + 4 x 4 - 16

Aplicando a distributiva no numerador, temos que:

A x + B x 2 - 4 + C x + D x 2 + 4 = A x 3 - 4 A x + B x 2 - 4 B + C x 3 + 4 C x + D x 2 + 4 D

Agora vamos isolar as contantes:

0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 1 = A + C x 3 + B + D x 2 + - 4 A + 4 C x + 4 D - 4 B

Passo 2

Agora precisamos encontrar os valores destas contantes. Temos as seguintes equações:

4 D - 4 B = 1

A + C = 0

B + D = 0

- 4 A + 4 C = 0

Destas equações podemos tirar que:

A = - C

A = C

Note que isso só é verdade se A = C = 0 .

Portanto, temos que:

B = - D

4 D - 4 - D = 1

D = 1 8

B = - 1 8

Passo 3

Agora que encontramos os coeficientes temos que:

1 x 4 - 16 = 0 x + - 1 8 x 2 + 4 + 0 x + 1 8 x 2 - 4

1 x 4 - 16 = - 1 8 x 2 + 4 + 1 8 x 2 - 4

Logo:

∫ d x x 4 - 16 = ∫ - 1 8 x 2 + 4 + 1 8 x 2 - 4 d x

= ∫ - 1 8 x 2 + 4 d x + ∫ 1 8 x 2 - 4 d x

Observe que:

Para ∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a tan - 1 ⁡ x a e ∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ x - a x + a + C .

Aplicando a situação, temos que:

∫ d x x 4 - 16 = 1 8 - 1 2 tan - 1 ⁡ x 2 + 1 8 1 4 ln ⁡ x - 2 x + 2 + C

∫ d x x 4 - 16 = - 1 16 tan - 1 ⁡ x 2 + 1 32 ln ⁡ x - 2 x + 2 + C

Resposta

∫ d x x 4 - 16 = - 1 16 tan - 1 ⁡ x 2 + 1 32 ln ⁡ x - 2 x + 2 + C

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