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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 59

Calcule a integral.

int (d x)/(x^4 - 16)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

De cara a gente pode notar que teremos que manipular essa integral para poder resolver... Vamos reescreve-la da seguinte maneira:

int (d x)/(x^4 - 16) = int (d x)/((x^2)^2 - 4^2)

Sabendo que x^2 - y^2 = ( x + y ) ( x - y ) , podemos fatorar ainda mais a nossa integral.

int (d x)/((x^2)^2 - 4^2) = int (d x)/((x^2 + 4) (x^2 - 4))

Quando você ver uma integral assim, já reconhece que ela vai sair por frações parciais.

O grai do numerador é menor que o grau do denominador. Temos que:

(1)/(x^4 - 16) = (1)/((x^2 + 4) (x^2 - 4))

(1)/(x^4 - 16) = (A x + B)/(x^2 + 4) + (C x + D)/(x^2 - 4)

Tirando o mmc, temos:

(1)/(x^4 - 16) = ((A x + B) (x^2 - 4) + (C x + D) (x^2 + 4))/(x^4 - 16)

Aplicando a distributiva no numerador, temos que:

(A x + B) (x^2 - 4) + (C x + D) (x^2 + 4) = A x^3 - 4 A x + B x^2 - 4 B + C x^3 + 4 C x + D x^2 + 4 D

Agora vamos isolar as contantes:

0 x^3 + 0 x^2 + 0 x + 1 = (A + C) x^3 + (B + D) x^2 + (- 4 A + 4 C) x + (4 D - 4 B)

Passo 2

Agora precisamos encontrar os valores destas contantes. Temos as seguintes equações:

4 D - 4 B = 1

A + C = 0

B + D = 0

- 4 A + 4 C = 0

Destas equações podemos tirar que:

A = - C

A = C

Note que isso só é verdade se A = C = 0 .

Portanto, temos que:

B = - D

4 D - 4 (- D) = 1

D = (1)/(8)

B = - (1)/(8)

Passo 3

Agora que encontramos os coeficientes temos que:

(1)/(x^4 - 16) = (0 x + (- (1)/(8)))/(x^2 + 4) + (0 x + ((1)/(8)))/(x^2 - 4)

(1)/(x^4 - 16) = (- 1)/(8 (x^2 + 4)) + (1)/(8 (x^2 - 4))

Logo:

int (d x)/(x^4 - 16) = int ((- 1)/(8 (x^2 + 4)) + (1)/(8 (x^2 - 4))) d x

= int ((- 1)/(8 (x^2 + 4))) d x + int ((1)/(8 (x^2 - 4))) d x

Observe que:

Para int (1)/(x^2 + a^2) d x = (1)/(a) tan^(- 1) ((x)/(a)) e int (1)/(x^2 + a^2) d x = (1)/(2 a) ln |(x - a)/(x + a)| + C .

Aplicando a situação, temos que:

int (d x)/(x^4 - 16) = (1)/(8) [(- 1)/(2) tan^(- 1) ((x)/(2))] + (1)/(8) [(1)/(4) ln |(x - 2)/(x + 2)| + C]

int (d x)/(x^4 - 16) = (- 1)/(16) tan^(- 1) ((x)/(2)) + (1)/(32) ln |(x - 2)/(x + 2)| + C

Resposta

int (d x)/(x^4 - 16) = (- 1)/(16) tan^(- 1) ((x)/(2)) + (1)/(32) ln |(x - 2)/(x + 2)| + C

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