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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 20

Demonstrar que a reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , no ponto ( x 0 ,   y 0 ) tem a equação x x 0 a 2 + y y 0 b 2 = 1 .

Passo 1

Vamos começar derivando implicitamente a função...

2 x a 2 + 2 y b 2 y ' = 0

y ' =   - 2 x a 2 2 y b 2

y ' = - 2 x a 2 b 2 2 y

y ' =   - b 2 x a 2 y

Passo 2

Vamos substituir o ponto agora para encontrar a inclinação da reta:

y ' x 0 ,   y 0 =   - b 2 x 0 a 2 y 0

Ótimo! Agora a gente monta a equação da reta tangente...

y - y 0 = - b 2 x 0 a 2 y 0 x - x 0  

y = - b 2 x 0 a 2 y 0 x + b 2 x 0 2 a 2 y 0 + y 0

a 2 y y 0 - a 2 y 0 2 = - b 2 x 0 x + b 2 x 0 2

a 2 y y 0 a 2 b 2 + b 2 x x 0 a 2 b 2 = b x 0 2 a 2 b 2 + a 2 y 0 2 a 2 b 2

y y 0 b 2 + x x 0 a 2 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2

x x 0 a 2 + y y 0 b 2 = 1

E aí chegamos ao que queríamos😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Aparentemente, a elipse x 2 + x y + y 2 = 3 tem retas tangentes horizontais nos pontos de interseção da elipse com a reta y = - 2 x , conforme figura abaixo. Use derivação implícita para explicar por
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se y estiver definido implicitamente como uma função de x pela equação x 2 + y 2 = 1 , então d y / d x = - x / y .
Use derivação implícita para encontrar todos os pontos do gráfico de y 4 + y 2 = x ( x - 1 ) nos quais a reta tangente é vertical.
Encontre a inclinação da reta tangente à curva nos pontos dados de duas maneiras: primeiro, resolvendo para y em termos de x e derivando; depois, por derivação implícita. y 2 - x + 1 = 0 ; ( 10 ,3 ) ,
Encontre a inclinação da reta tangente à curva nos pontos dados de duas maneiras: primeiro, resolvendo para y em termos de x e derivando; depois, por derivação implícita. x 2 + y 2 = 1 ; ( 1 / 2 ,3 /