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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 19

Demonstre que (d)/(d x) ( c o t g x ) = - c o s s e c^2 x .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente demonstrar que a derivada da cotangente de x é igual a menos cossecante ao quadrado de x , ou seja:

(d)/(d x) (cotg x) = - cossec^2 x

Pra isso, vamos precisar usar a definição de cotangente na forma:

cotg x = (cos x)/(sin x)

Dessa forma, vamos derivar a fração do lado direito, usando a regra do quociente:

((f)/(g))^' = (f^' g - f g^')/(g^2)

Vamos lá!

Passo 2

Derivando a função (cos x)/(sin x) pela regra do quociente, temos:

(cotg x)^' = ((cos x)/(sin x))^'

(cotg x)^' = ((cos x)^' * sin x - cos x * (sin x)^')/((sin x)^2)

Como ( sin x ) ' = cos x e ( cos x ) ' = - sin x , temos que:

(cotg x)^' = ((- sin x)^' * sin x - cos x * ( cos x ))/((sin x)^2) :.

( cotg x ) ' = (- sin^2 x - cos^2 x)/(sin^2 x)

Passo 3

Agora vamos colocar - 1 em evidência e usar a identidade trigonométrica sin^2 x + cos^2 x = 1 :

(cotg x)^' = (- (sin^2 x + cos^2 x))/(sin^2 x) :.

(cotg x)^' = - (1)/(sin^2 x)

Mas 1 // sin x é igual a cossecante de x , por definição. Então, temos:

(cotg x)^' = - cossec^2 x

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Demonstração

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