Demonstre que d/dx (cotg x) = -coss^2 x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente demonstrar que a derivada da cotangente de x é igual a menos cossecante ao quadrado de x , ou seja:

d d x cotg ⁡ x = - cossec 2 ⁡ x

Pra isso, vamos precisar usar a definição de cotangente na forma:

cotg ⁡ x   = cos ⁡ x sin ⁡ x

Dessa forma, vamos derivar a fração do lado direito, usando a regra do quociente:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Vamos lá!

Passo 2

Derivando a função cos ⁡ x sin ⁡ x pela regra do quociente, temos:

cotg ⁡ x ' = cos ⁡ x sin ⁡ x '

  cotg ⁡ x ' = cos ⁡ x ' ∙ sin ⁡ x   - cos ⁡ x ∙ sin ⁡ x ' sin ⁡ x 2

Como ( sin ⁡ x ) ' = cos ⁡ x e ( cos ⁡ x ) ' =   - sin ⁡ x , temos que:

cotg ⁡ x ' = - sin ⁡ x ' ∙ sin ⁡ x   - cos ⁡ x ∙ ( cos ⁡ x ) sin ⁡ x 2 ∴

( cotg ⁡ x ) ' = - sin 2 ⁡ x   - cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x

Passo 3

Agora vamos colocar - 1 em evidência e usar a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 :

cotg ⁡ x ' = - sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x ∴

cotg ⁡ x ' =   -   1 sin 2 ⁡ x

Mas 1 / sin ⁡ x é igual a cossecante de x , por definição. Então, temos:

cotg ⁡ x ' =   - cossec 2 ⁡ x

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Demonstração

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