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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 45

Encontre o limite.

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta)

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta)

Onde a gente pode fazer o seguinte utilizando as propriedades dos limites:

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta) = (underset(theta -> 0)(lim) sen theta)/(underset(theta -> 0)(lim) sen theta)

Mas perceba que:

underset(theta -> 0)(lim) sen theta = 0

E

underset(theta -> 0)(lim) theta + tg theta = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Dessa forma, teremos que fazer algumas manipulações para encontrarmos o valor do limite!!

Bora lá 😉

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação:

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta) = underset(theta -> 0)(lim) (1)/(((theta + tg theta)/(sen theta))) :.

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta) = underset(theta -> 0)(lim) (1)/(((theta)/(sen theta) + (tg theta)/(sen theta))) :.

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta) = underset(theta -> 0)(lim) (1)/(((theta)/(sen theta) + sec theta)) :.

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta) = (underset(theta -> 0)(lim) 1)/(underset(theta -> 0)(lim) ((theta)/(sen theta) + sec theta)) :.

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta) = (1)/(underset(theta -> 0)(lim) ((theta)/(sen theta)) + underset(theta -> 0)(lim) (sec theta))

Passo 3

Se temos o limite fundamental: underset(x -> 0)(lim) (se n x)/(x) = 1 , então:

underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(sen theta) = underset(theta -> 0)(lim) (1)/(((sen theta)/(theta))) :.

underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(sen theta) = (1)/(underset(theta -> 0)(lim) ((sen theta)/(theta))) :.

underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(sen theta) = 1

Passo 4

E como underset(theta -> 0)(lim) sec theta = 1 . Temos então:

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta) = (1)/(underset(theta -> 0)(lim) ((theta)/(sen theta)) + underset(theta -> 0)(lim) (sec theta)) :.

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta) = (1)/(1 + 1)

Portanto:

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta) = (1)/(2)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

underset(theta -> 0)(lim) (sen theta)/(theta + tg theta) = (1)/(2)

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