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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 14

Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.

14 .     h y = y 3 - y 2 c o s y + 2 y s e n y + 2 c o s ⁡ ( y )  

Passo 1

Nós queremos a derivada da função, que será:

h ' y = ( y 3 ) ' - ( y 2 ⋅ c o s y ) ' + ( 2 y ⋅ s e n y ) ' + ( 2 ⋅ c o s y ) '

Para simplificar nossa resolução iremos separar a função em três termos.

1 º   t e r m o - y ³

2 º   t e r m o - y 2 c o s y

3 º   t e r m o - 2 y s e n y

4 º   t e r m o -   2 c o s y

Usaremos a regra do produto e a derivação polinomial para derivar as funções separadamente e depois efetuaremos as operações.

Regra do produto:

f y ⋅ g y '   = f y   ' ⋅ g y + g y ' ⋅ f y

Derivação polinomial:

y a ' = a ⋅ y a - 1

Passo 2

1º - Derivada de y ³

y 3 ' = 3 y 3 - 1   = 3 y ²

Passo 3

2º - Derivada de   y 2 c o s y

y ² c o s y ' =   y ² ' ⋅ c o s y + c o s y ' ⋅ y ²

                                        = 2 y 2 - 1 ⋅ c o s y + ( - s e n y ) ⋅ y ²

                                        = 2 y ⋅ c o s y - y 2 ⋅ s e n y

Passo 4

3º - Derivada de   2 y s e n ( y )

2 y s e n y ' =   2 y ' ⋅ s e n y + s e n y ' ⋅ 2 y

                                          = 2 ⋅ s e n y + c o s y ⋅ 2 y

Passo 5

4º - Derivada de   2 c o s ( x )

2 c o s y ' =   2 ' ⋅ c o s y + c o s y ' ⋅ 2

                                    = 0 ⋅ c o s y + ( - s e n y ) ⋅ 2

                                    = 0 ⋅ c o s y - 2 ⋅ s e n y

Passo 6

Por fim, resolveremos a operação com as derivadas:

h ' y = 3 y 2 - 2 y ⋅ c o s y - y 2 ⋅ s e n y + 2 ⋅ s e n y + c o s y ⋅ 2 y + ( 0 ⋅ c o s y - 2 ⋅ s e n y )

                        = 3 y 2 -   2 y ⋅ c o s y + y 2 ⋅ s e n y +   2 ⋅ s e n y + c o s y ⋅ 2 y - 2 ⋅ s e n y

                        =   3 y 2 + y ² s e n y

  = y ² ( 3 + s e n y )

Resposta

h ' y =   y ² ( 3 + s e n y )

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Se f 2 = 10 e f ' ( x ) = x 2 . f ( x ) para todo x , encontre f ' ' 2 .
Se f x = e x 2 x ² + x + 1 ² , encontre f ' x .Verifique se sua resposta em (a) é razoável, comparando os gráficos de f e f ' .
Derive:15) y = t ² + 2 t 4 - 3 t 2 + 1 ²
Derive:16) y = t ( t - 1 ) ² ²
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