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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 10

Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.

10 .     g y = 3 s e n y - y c o s ( y )

Passo 1

Nós queremos a derivada da função que será:

g ' y = 3 ⋅ s e n y ' - ( y ⋅ c o s y ) '

Para simplificar nossa resolução iremos separar a função em dois termos:

1 º   t e r m o - 3 s e n y

2 º   t e r m o - y c o s ( y )

Usaremos a regra do produto para derivar os dois termos separadamente.

Regra do produto:

f y ⋅ g y '   = f y   ' ⋅ g y + g y ' ⋅ f y

Passo 2

1º - Derivada de 3 s e n y :

3 s e n y ' =   3 ' ⋅ s e n y + s e n y ' ⋅ 3

                                  =   0 ⋅ s e n y + c o s y ⋅ 3

                                  = 3 ⋅ c o s y

Passo 3

2º - Derivada de   y c o s ( y ) :

y c o s y ' =   y ' ⋅ c o s y + c o s y ' ⋅ y

                                  = 1 ⋅ c o s y + ( - s e n y ) ⋅ y

                                  = c o s y - y ⋅ s e n y

Passo 4

Por fim, subtraímos as duas derivadas:

g ' y = 3 ⋅ c o s y - ( c o s y - y ⋅ s e n y )

                        = 3 ⋅ c o s y - c o s y + y ⋅ s e n y

                        = 2 ⋅ c o s y + y ⋅ s e n y

Resposta

g ' y = 2 c o s ⁡ ( y ) + y s e n ( y )

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