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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 28

28. Demonstre que ∫ a b x 2 d x = b 3 - a 3 2 .

Passo 1

Eaeee, belezinha?! Bom... a questão foi bem direta aqui.

Aqui temos que demostrar que:

∫ a b x 2 d x = b 3 - a 3 2

Para isso podemos usar o teorema 4, que diz que: Se f ( x ) for integrável em [ a , b ] então:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Onde:

∆ x = b - a n

x i = a + i ∆ x

Vamos lá?! 😉

Passo 2

Aplicando o teorema na nossa função, ficamos com:

∫ a b x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i 2 Δ x

Nosso Δ x = b - a n e x i = a + i b - a n .

∫ a b x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n a + i b - a n 2 b - a n

Passo 3

Vamos calcular o somatório primeiro.

∑ i = 1 n a + i b - a n 2 b - a n

Como o fator b - a n não depende de i , ele pode sair do somatório.

= b - a n ∑ i = 1 n a + i b - a n 2

Resolvendo a potência de 2 temos:

= b - a n ∑ i = 1 n a 2 + 2 a i b - a n + i b - a n 2

= b - a n ∑ i = 1 n a 2 + i 2 a ( b - a ) n + i 2 b - a n 2

Agora eu posso abrir esse somatório, em 3 somatórios, um para cada termo:

= b - a n ∑ i = 1 n a 2 + ∑ i = 1 n i 2 a ( b - a ) n + ∑ i = 1 n i 2 b - a n 2

= b - a n a 2 ∑ i = 1 n 1 ⏞ I + 2 a ( b - a ) n ∑ i = 1 n i ⏞ I I + b - a n 2 ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I

Agora precisamos resolver esses somatórios!!

Passo 4

Aqui usamos as fórmulas:

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = 1 + 1 + . . . + 1 + 1 ⏞ = n   v e z e s n

∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2

∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

Nossa expressão é:

b - a n a 2 ∑ i = 1 n 1 ⏞ I + 2 a ( b - a ) n ∑ i = 1 n i ⏞ I I + b - a n 2 ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I

Substituindo as fórmulas acima, ficamos com:

= b - a n a 2 n + 2 a ( b - a ) n ⋅ n n + 1 2 + b - a n 2 ⋅ n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

Resolvendo a multiplicação e simplificando alguns fatores.

= b - a n a 2 n + 2 a ( b - a ) n + 1 2 + b - a 2 n 2 ⋅ n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

= b - a n a 2 n + 2 a b - a n + 1 2 + b - a 2 n ⋅ n + 1 2 n + 1 6

Multiplicando por 1 / n que está do lado de fora:

= b - a a 2 + 2 a b - a n + 1 2 n + b - a 2 n 2 ⋅ n + 1 2 n + 1 6

Usando o 1 / n de forma a conseguir cancela-lo depois no limite:

= ( b - a ) a 2 + 2 a b - a 2 ( n + 1 ) n   + b - a 2 ⋅ n + 1 n 2 n + 1 n 6

= ( b - a ) a 2 + 2 a b - a 1 + 1 n 2 + b - a 2 ⋅ 1 + 1 n 2 + 1 n 6

Primeira parte ok.

Passo 5

Podemos calcular o limite agora.

∫ a b x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ( b - a ) a 2 + 2 a b - a 1 + 1 n 2 + b - a 2 ⋅ 1 + 1 n 2 + 1 n 6

= ( b - a ) a 2 + 2 a b - a 1 + l i m n → ∞ 1 n 2 + b - a 2 ⋅ 1 + l i m n → ∞ 1 n 2 + l i m n → ∞ 1 n 6

Usando que:

l i m n → ∞ 1 n = 0

Temos:

= ( b - a ) a 2 + 2 a b - a 2 + b - a 2 ⋅ 2 6

= b - a 6 a 2 + 6 a b - a + 2 b - a 2 6 = ( b - a ) 6 a 2 + 6 a b - 6 a 2 + 2 b - a 2 6

= b - a 6 a b + 2 b - a 2 6 = ( b - a ) 3 a b + b - a 3 3

= 3 b 2 a - 3 a 2 b + b 3 - 3 b 2 a + 3 b a 2 - a 3 3 = b 3 - a 3 3

Ou seja,

∫ a b x 2 d x = b 3 - a 3 3

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Demonstração

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