Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 32
Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
Passo 1
Devemos usar a definição formal de limite para demonstrar que Eu sei que você deve estar pensando que é óbvio que esse limite vale porém devemos usar a definição precisa de limite.
A definição diz que:
Quando para todo número , existe um número tal que: se então .
Passo 2
Da definição apresentada na seção, tomando e temos que o limite existe se para todo conseguirmos encontrar um tal que
Eu sei que isso parece complicado, mas é só notação rebuscada: na prática, o que faremos é tentar achar um que satisfaça a relação exposta. Basta achar um em função de que satisfaça isso que mostramos o limite!!!
Vamos reescrever a relação que queremos satisfazer:
Como temos que Assim, temos que
Como quando tomamos o limite deve estar próximo de podemos tomar por exemplo
Assim,
Observe que nesse intervalo a função é crescente, de modo que
Se
Então
Desta forma, como veremos, é interessante fazer a escolha
Passo 3
Agora vamos provar que a escolha feita no passo 2 é suficiente para demonstrar o limite.
Se
então
e
Assim, como então
Desta forma,
Por outro lado, se
então
Assim, essa escolha de implica
Além disso, temos que de modo que Desta forma, com essa escolha de temos que
Assim, como achamos um tal que para todo a relação é satisfeita, provamos o limite!!!
É importante ressaltar que nossa escolha para não é única: outras escolhas podem demonstrar o limite também.
Resposta
Demonstração.