Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 39
Se a função for definida por
demonstre que não existe.
Passo 1
Falaii galerinha, bora resolver mais uma ?
O exercício pede para provarmos que o limite não existe, no caso da nossa função abaixo:
Parece intuitivo que este limite não deveria existir, uma vez que, próximo de zero, há uma infinidade de números racionais e irracionais tão próximos quanto desejado. Isso resulta em uma função que oscila intensamente entre 0 e 1.
Mesmo sendo algo intuitivo, devemos provar isso rigorosamente usando a definição de limite, que diz que se, e somente se, para todo , existe um tal que se
, então
Reconhecemos que pode parecer extremamente complexo e estranho à primeira vista, mas, em essência, o que a definição está dizendo é que, para qualquer número positivo ϵ, você deve ser capaz de encontrar um δ (que pode depender de ϵ) tal que
Como queremos provar que o limite não existe, vamos supor que ele existe e tentar chegar em alguma contradição.
Passo 2
Antes de qualquer coisa, vamos adaptar a definição de limite para o nosso caso.
Para provar que o limite existe e vale , para todo , devo conseguir encontrar um tal que
Como estamos supondo que o limite existe e vale , a relação acima é válida para todo .
Vamos ver então o que acontece com um particular (se vale para todos, deve valer para algum). Tomemos então .
Assim, deve existir um tal que
Assim, para todo entre e , deve estar entre e .
Observe a parte que eu grifei no período anterior: “para todo ”, ou seja, pode ser racional ou irracional.
Vamos tomar um em particular que seja racional, assim, e como , temos que , de modo que .
Por outro lado, podemos tomar um que seja irracional, de modo que . Como , temos que , de modo que .
Como pode L ser maior e menor que 1/2 ao mesmo tempo?
Isso é claramente uma contradição!
A conclusão é evidente: o limite simplesmente não pode existir!
Resposta
Demonstração.