Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.4 - Ex. 30
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Eu sei que você deve odiar demonstrar um limite usando a definição, mas é isso que a questão pede, então não tem muito que possamos fazer....
Vamos lá, da definição de limite usando , e , temos que a afirmação é verdadeira se para todo número , eu conseguir encontrar um número (em função de ) tal que
Ou ainda,
Então nosso objetivo é encontrar uma expressão para em função de que satisfaça a condição acima!!!
Passo 2
Antes de mais nada, precisamos resolver a equação . Resolvendo ela, obtemos as raízes e , assim . Desta forma, a relação que devemos satisfazer para demonstrar o limite é
Como tomamos o limite com próximo de , podemos tentar algo do tipo . Assim, . Vamos somar em todos os membros para obter alguma relação envolvendo o :
Assim, . Uma escolha que se mostrará suficiente é . Ela será suficiente pois e simultaneamente, de modo que e, além disso, . Isso será suficiente para demonstrar o limite como veremos no próximo passo.
Passo 3
Vamos provar agora que a escolha serve para demonstrar o limite!!!
Como visto, sabemos que e o que significa que . E, vimos também que com essa escolha, . Assim,
Assim, com essa escolha de , vale sempre que
Provamos então o limite!!!
Resposta
Demonstração.