Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 24
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite usando a definição formal. A definição precisa de limite diz que se
“Para todo , existe um tal que se , então ”
Não se assuste com esse monte de letra grega, esses vários módulos e essa linguagem rebuscada, o que devemos fazer é mais simples do que todo esse “matematiquês” faz parecer...
O que devemos fazer é achar uma relação para (em função de ) tal que a primeira afirmação () implique na segunda ().
Então, basicamente, o limite nos diz para onde a função está indo à medida que nos aproximamos de um ponto específico, mesmo que ela possa nunca realmente chegar lá. É como se estivéssemos observando o comportamento da função bem de perto, mas sem realmente atingir aquele ponto exato.
E é isso que vamos fazer de forma geral, ao chegarmos perto de um ponto:
Isso implicará que nossa função chegar perto de um número:
Passo 2
Neste passo vamos conjecturar um valor para como se estivéssemos fazendo um esboço.
Seja um número dado, devemos achar tal que
se
então
Como neste caso , devemos achar tal que
Se
Então
Assim, devemos achar tal que
se
então
Como por definição, qualquer escolha para serve!!! Por simplicidade, escolherei .
Passo 3
Tomando , temos que se
então
(ou ).
Assim, para todo
existirá um
que satisfaça a definição (a primeira afirmação implica na segunda).
Resposta
Demonstração.