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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 23

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → a ⁡ x = a

Passo 1

Opaaa, temos que provar que:

lim x → a ⁡ x = a

Na prática nunca usamos a definição de limite para calculá-los e em geral isso pode ser muito trabalhoso. Todavia, essa questão solicita que façamos isso para demonstrar o valor de um limite. A definição precisa de limite diz que lim x → a ⁡ f ( x ) = L se

“Para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x - L < ϵ ”

Eu sei que parece complicado, realmente é, mas o que devemos fazer é para um dado número ϵ > 0 , achar um outro número δ (que será dado em função de ϵ ) que satisfaça a relação dada.

Passo 2

Neste passo vamos conjecturar um valor para δ como se estivéssemos fazendo um esboço.

Seja ϵ > 0 um número dado, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x - a < δ então x - L < ϵ

Como neste caso L = a , devemos achar δ tal que

se 0 < x - a < δ então x - a < ϵ

Assim, devemos achar δ tal que a primeira afirmação implique na segunda.

Note que se tomarmos δ = ϵ a relação exposta acima é satisfeita pois x - a é menor que δ , então | x - a | também será menor que ϵ já que δ = ϵ .

Poderíamos tomar também δ = ϵ / 2 pois se 0 < x - a < ϵ / 2 então x - a < ϵ (se um número é menor que ϵ / 2 ele serpa também menor que ϵ ). Vemos assim que a escolha não é única e neste caso bastaria escolher qualquer δ ≤ ϵ !!! Por simplicidade, vamos tomar δ = ϵ . No próximo passo vamos efetivamente demonstrar que o limite vale a .

Passo 3

Tomando δ = ϵ , temos que se 0 < x - a < δ , então x - a < δ = ϵ . Assim, para todo ϵ > 0 , existirá um δ > 0 que satisfaça a definição.

Resposta

Demonstração.

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