Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite. lim x → a ⁡ x = a

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 23

Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.

Passo 1

Opaaa, temos que provar que:

Na prática nunca usamos a definição de limite para calculá-los e em geral isso pode ser muito trabalhoso. Todavia, essa questão solicita que façamos isso para demonstrar o valor de um limite. A definição precisa de limite diz que se

“Para todo , existe um tal que se , então ”

Eu sei que parece complicado, realmente é, mas o que devemos fazer é para um dado número , achar um outro número (que será dado em função de ) que satisfaça a relação dada.

Passo 2

Neste passo vamos conjecturar um valor para como se estivéssemos fazendo um esboço.

Seja um número dado, devemos achar tal que

se então

Como neste caso , devemos achar tal que

se então

Assim, devemos achar tal que a primeira afirmação implique na segunda.

Note que se tomarmos a relação exposta acima é satisfeita pois é menor que , então também será menor que já que .

Poderíamos tomar também pois se então (se um número é menor que ele serpa também menor que ). Vemos assim que a escolha não é única e neste caso bastaria escolher qualquer !!! Por simplicidade, vamos tomar . No próximo passo vamos efetivamente demonstrar que o limite vale .

Passo 3

Tomando , temos que se , então . Assim, para todo , existirá um que satisfaça a definição.

Resposta

Demonstração.

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