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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 1

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = 2 - 1 2 x ,       y = 0 ,       x = 1 ,       x = 2 ; em torno do eixo x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes retas:

y = 2 - 1 2 x ,       y = 0 ,       x = 1 ,       x = 2

Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:

y = 2 - 1 2 x

    y = 0

x = 1

    x = 2

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: a = 1 e b = 2 .

Passo 3

Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta:

y = 2 - 1 2 x

Que é a curva que limita a nossa região! Agora vamos esboçar o sólido e o disco:

Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal no sólido!

Passo 4

Para calcular o volume temos:

V = ∫ a b A x d x

Essa área é dada por:

A x = π r 2

A x = π 2 - 1 2 x 2

A ( x ) = π 4 - 2 x + 1 4 x 2

Substituindo na fórmula do volume:

V = ∫ 1 2 π 4 - 2 x + 1 4 x 2 d x =

V = π ∫ 1 2 4 - 2 x + 1 4 x 2 d x

Passo 5

Vamos integrar:

V = π ∫ 1 2 4 - 2 x + 1 4 x 2 d x = π 4 x - x 2 + x 3 12 1 2

Aplicando os limites de integração:

V = π 4.2 - 2 2 + 2 3 12 - 4.1 - 1 2 + 1 3 12

V = π 8 - 4 + 8 12 - 4 - 1 + 1 12

V = 19 π 12

Prontinho!

Resposta

V = 19 π 12

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