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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 54

Encontre o volume do sólido S descrito.

A base de S é um disco circular de raio r . Secções transversais paralelas, perpendiculares à base, são quadradas.

Passo 1

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Aqui abaixo temos o corte transversal:

Temos pela figura que os limites de integração são os limites da circunferência, assim a = - r e b = r , e a área de uma circunferência é dada pela expressão x 2 + y 2 = r 2 → y = r 2 - x 2 :

A x = 2 y 2 = 2 r 2 - x 2 2

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A x d x = ∫ - r r 2 r 2 - x 2 2 d x = ∫ - r r 4 r 2 - x 2 d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ 4 r 2 - x 2 d x = 4 r 2 x - x 3 3 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = ∫ - r r 4 r 2 - x 2 d x = 4 r 2 x - x 3 3 - r r = 4 r 2 r - r 3 3 - 4 r 2 - r - - r 3 3 = 4 r 3 - r 3 3 - 4 - r 3 + r 3 3 = 4 r 3 - r 3 3 + r 3 - r 3 3 = 16 r 3 3

Resposta

V = 16 r 3 3

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