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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 26

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

V E = 1 3 ∬ S   F   ∙ d S , onde F x , y , z = x i + y j + z k é um vetor constante

Passo 1

Fala, galera! Tudo certo?

A questão pede para demonstrarmos a identidade

V E = 1 3 ∬ S   F   ∙ d S

Onde:

F x , y , z = x i + y j + z k é um vetor constante

Dado que nesse caso todas as condições satisfazem o Teorema do Divergente.

Para provar essa identidade, vamos partir do Teorema do divergente, que traz que:

∬ S   F ⋅ n   d S = ∭ E   div ⁡ F d V

Pra isso, vamos calcular o divergente de F , usando a equação:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Passo 2

Vamos começar pelo cálculo do divergente:

A função campo é do tipo:

F = P i + Q j + R k

Como nosso campo tem a equação:

F x , y , z = x i + y j + z k

Nossos termos são:

P = x

Q = y

R = z

Aplicando na equação do divergente:

div ⁡ F = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ z

Calculando cada derivada parcial, temos:

div ⁡ F = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 3

Substituindo agora no Teorema do Divergente, temos:

∬ S   F ∙ d S = ∭ E   div ⁡ F d V = ∭ E   3   d V

Acontece que a integral tripla de d V sobre uma região E é o próprio volume de E ! Então:

3 ∭ E     d V = 3 ⋅ V ( E )

Substituindo de volta na primeira equação desse passo:

∬ S   F ∙ d S = ∭ E   3   d V = 3 ⋅ V ( E )

Isolando V ( E ) :

V E = 1 3 ∬ S   F ∙ d S

Prontinho! Identidade demonstrada!

Resposta

Demonstração.

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