Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 4

Verifique se o teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial na região .

, é o cilindro sólido , .

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo certo?

A questão nos dá uma função:

E um sólido , que é o cilindro sólido

E pede para verificarmos se o Teorema do Divergente é verdadeiro para nosso caso. O Teorema do Divergente diz que:

Ou seja, o fluxo de pela fronteira de é igual a integral tripla da divergência de sobre a mesma fronteira .

Então, vamos precisar calcular os dois lados da equação e verificar se são iguais! Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente da nossa função :

Dado pela equação:

Uma função campo tem o formato:

Então suas componentes são:

Substituindo na equação do divergente:

Resolvendo as derivadas parciais em cada termos, temos:

Passo 3

Calculando a integral:

Temos:

Vamos por enquanto resolver somente a integral em , que é a integral de dentro. Como o enunciado traz:

Então:

Resolvendo a integral de dentro:

E aplicando os limites:

A integral dupla do elemento nada mais é que a área da região . Como já fizemos a integral em , falta analisarmos nossa região no plano .

Então, no plano temos um círculo de raio :

Então:

Como a área de um círculo é:

Temos:

Então:

Passo 4

Agora precisamos do valor de:

Que é o lado esquerdo do nosso teorema do divergente. Nossa superfície é o cilindro sólido

Para isso vamos ter que calcular 3 integrais, para 2 superfícies diferentes:

Fundo do cilindro
Tampa do cilindro
Lateral do cilindro

Vamos começar com , referente a tampa do cilindro . O vetor normal a um plano em , vai estar apontando somente paralelamente ao eixo , então:

Aqui nossa função terá , então:

Fazendo o produto escalar entre esses dois vetores:

Vamos aplicar na integral de superfície:

Acontece que a integral dupla do elemento é a própria área da superfície:

O plano corta nosso cilindro

Então a área da tampa é área do círculo com raio :

Substituindo:

Passo 5

Pensando no fundo do cilindro , vamos ter o mesmo processo que fizemos para a tampa . A diferença agora pra é que nosso vetor normal vai apontar pra direção negativa de , então:

Fazendo na equação do campo:

Fazendo o produto escalar:

Então nossa integral será:

Passo 6

Finalizando com a lateral do cilindro , vamos ter que parametrizar a nossa superfície cilíndrica, usando as equações que usávamos para coordenadas cilíndricas:

Já que nosso raio é . Então nosso vetor paramétrico fica:

Como está entre os dois planos e temos um cilindro completo, a variação dos parâmetros será:

Achando as derivadas parciais desse vetor em relação a e a :

Fazendo o produto vetorial entre esses dois vetores, teremos:

Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Então, tiramos o determinante de cada uma dessas matrizes e ficamos com: