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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.9 - Ex. 8

Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 3 + y 3 i ^ + ( y 3 + z 3 ) j ^ + ( z 3 + x 3 ) k ^

S é a esfera com origem no centro e raio 2 .

Passo 1

Oii, tudo bem com vocês?

A questão pede para calcular a integral de fluxo de F → sobre S usando o teorema do divergente, que diz o seguinte:

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E div ⁡ F → d V

Onde E é o sólido limitado pela superfície S .

O divergente de F → = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ é

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

A gente vai começar calculando o divergente, depois definindo E e calculando a integral tripla.

Passo 2

O campo dessa questão é:

F → x , y , z = x 3 + y 3 i ^ + ( y 3 + z 3 ) j ^ + ( z 3 + x 3 ) k ^

Disso, temos:

P = x 3 + y 3

Q = y 3 + z 3

R = z 3 + x 3

Derivando P em função de x , com y , z constante:

∂ P ∂ x = ∂ x 3 + y 3 ∂ x = 3 x 2

Derivando Q em função de y , com x , z constante:

∂ Q ∂ y = ∂ y 3 + z 3 ∂ y = 3 y 2

Derivando R em função de z , com x , y constante:

∂ R ∂ z = ∂ z 3 + x 3 ∂ z = 3 z 2

Então:

div ⁡ F → = 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2

= 3 x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Como S é a esfera de raio 2 centrada na origem, E vai ser o sólido dessa esfera.

Definindo com coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

E para uma esfera de raio 2 :

0 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Lembrando que para coordenadas esféricas temos:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

E o jacobiano dessa transformação é

J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

Então a integral fica:

∭ E 3 x 2 + y 2 + z 2 d V =

= ∫ 0 2 ∫ 0 π ∫ 0 2 π 3 ρ 2 ⏟ i n t e g r a n d o o r i g i n a l ∙ ρ 2 sen ⁡ ϕ ⏟ J d θ d ϕ d ρ

Passo 4

A integral que temos que calcular é:

∫ 0 2 ∫ 0 π ∫ 0 2 π 3 ρ 4 sen ⁡ ϕ d θ d ϕ d ρ

Podemos separar em três integrais simples:

3 ∫ 0 2 ρ 4 d ρ ∙ ∫ 0 �� sen ⁡ ϕ d ϕ ∙ ∫ 0 2 π d θ

Calculando a primeira integral:

∫ 0 2 ρ 4 d ρ = ρ 5 5 0 2 = 32 5

A segunda:

∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ = - cos ⁡ ϕ 0 π =

= - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 = - - 1 + 1 = 2

E a última:

∫ 0 2 π d θ = 2 π - 0 = 2 π

Então:

3 ∫ 0 2 ρ 4 d ρ ∙ ∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ ∙ ∫ 0 2 π d θ = 3 ∙ 32 5 ∙ 2 ∙ 2 π

Ou seja:

∬ S F → ⋅ d S → = 384 π 5

Resposta

384 π 5

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