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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 28

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

∬ S D n f   d S = ∭ E ∇ 2 f d V

Passo 1

E aí, amigos! Tudo certo?

Nossa questão pede que a gente demonstre a identidade:

∬ S D n f   d S = ∭ E ∇ 2 f d V

Como o enunciado diz, todas as condições das variáveis envolvidas satisfazem o Teorema do Divergente, então vamos usá-lo para chegar na nossa resposta.

Relembrando:

∬ S F ∙ d S = ∭ E div ⁡ F d V

Vamos lá!

Passo 2

D n f é a derivada de f na direção do vetor normal n . Sua equação é:

D n f = ∇ f ∙ n

Aplicando a integral dupla dos dois lados da equação:

∬ S D n f   d S = ∬ S ∇ f ∙ n   d S

Como, por definição:

d S → = n →   d S

Podemos reescrever:

∬ S D n f   d S = ∬ S ∇ f ∙ d S

Temos pelo Teorema do Divergente:

∬ S F ∙ d S = ∭ E div ⁡ F d V

Com S sendo uma superfície fechada e E é a região dentro da superfície. E usando o Teorema do Divergente, ficamos com:

∬ S ∇ f ∙ d S = ∭ E div ⁡ ∇ f d V

Como estamos tratando F = ∇ f , e d i v   F = ∇ ⋅ F , ficamos com:

= ∭ E ∇ ∙ ∇ f   d V = ∭ E ∇ 2 f   d V

Então, nossa identidade está demonstrada!

∬ S D n f   d S = ∭ E ∇ 2 f d V

Resposta

Demonstração.

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