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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.9 - Ex. 14

Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∬ S F → ∙ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → = r → 2   r → , onde r → = x   i ^ + y   j ^ + z   k ^

S é a esfera com raio R e origem no centro.

Passo 1

Oii, galera!

A questão pede para calcular a integral de fluxo de F → sobre S usando o teorema do divergente:

∬ S F → ∙ d S → = ∭ E div ⁡ F → d V

Onde E é o sólido limitado por S .

Assim, trocamos a integral de superfície de F → pela integral de volume do divergente!

O divergente para F → = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ é:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Como nosso campo é:

F → = r → 2   r →

A gente vai começar reescrevendo ele, sabendo que se r → = a   i ^ + b   j ^ + c   k ^ :

r → 2 = a 2 + b 2 + c 2

Daí, conseguimos calcular o divergente.

Depois disso, vamos definir o sólido E , usando coordenadas esféricas (já que é uma esfera):

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Sem esquecer do jacobiano:

J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

E então nosso problema vai ser só calcular a integral tripla!

Passo 2

Como temos que

r → = x   i ^ + y   j ^ + z   k ^

Então

r → 2 = x 2 + y 2 + z 2

E o campo fica:

F → = x 2 + y 2 + z 2 ∙ x   i ^ + y   j ^ + z   k ^

= x 3 + x y 2 + x z 2 i ^ + x 2 y + y 3 + y z 2 j ^ + x 2 z + y 2 z + z 3 k ^

Pra escrevermos F → = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ :

P = x 3 + x y 2 + x z 2

Q = x 2 y + y 3 + y z 2

R = x 2 z + y 2 z + z 3

Passo 3

Agora vamos ver o divergente.

Derivando P em função de x , com y , z constantes:

∂ P ∂ x = ∂ x 3 + x y 2 + x z 2 ∂ x = 3 x 2 + y 2 + z 2

Derivando Q em função de y , com x , z constantes:

∂ Q ∂ y = ∂ x 2 y + y 3 + y z 2 ∂ y = x 2 + 3 y 2 + z 2

Derivando R em função de z , com x , y constantes:

∂ R ∂ z = ∂ x 2 z + y 2 z + z 3 ∂ z = x 2 + y 2 + 3 z 2

Voltando pra fórmula do divergente:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

= 3 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + 3 y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + 3 z 2

Então:

div ⁡ F → = 5 x 2 + y 2 + z 2

Passo 4

O próximo passo é definirmos o sólido E , em coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Como é uma esfera centrada na origem e de raio R :

0 ≤ ρ ≤ R

0 ≤ �� ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Lembrando que pra essa mudança de variáveis temos:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

E o jacobiano

J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

A integral fica:

∭ E div ⁡ F → d V = ∭ E 5 x 2 + y 2 + z 2 d V

= ∫ 0 R ∫ 0 π ∫ 0 2 π 5 ρ 2 ⏟ i n t e g r a n d o o r i g i n a l ∙ ρ 2 sen ⁡ ϕ ⏟ J d θ d ϕ d ρ

Passo 5

Então, temos que calcular a integral:

∫ 0 R ∫ 0 π ∫ 0 2 π 5 ρ 4 sen ⁡ ϕ d θ d ϕ d ρ

Podemos dividir em três integrais:

5 ∫ 0 R ρ 4 d ρ ∙ ∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ ∙ ∫ 0 2 π d θ

Calculando a primeira:

∫ 0 R ρ 4 d ρ = ρ 5 5 0 R =

= R 5 5

A segunda:

∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ = - cos ⁡ ϕ 0 π =

= - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 = - - 1 + 1 = 2

E a terceira:

∫ 0 2 π d θ = 2 π - 0 = 2 π

Juntando tudo:

5 ∫ 0 R ρ 4 d ρ ∙ ∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ ∙ ∫ 0 2 π d θ = 5 ∙ R 5 5 ∙ 2 ∙ 2 π

Então

��� S F → ∙ d S → = 4 π R 5

Resposta

4 π R 5

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