Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.9 - Ex. 6

Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∬ S F → ∙ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 2 y z   i ^ + x y 2 z   j ^ + x y z 2   k ^

S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x = a , y = b e z = c , onde a ,   b e c são números positivos.

Passo 1

E aii, galera?

Essa questão deu pra gente um campo vetorial e pediu pra calcularmos a integral de superfície dele usando o teorema do divergente, que é o seguinte:

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E div ⁡ F → d V

Onde E é o sólido limitado pela superfície S .

O divergente de F → = P   i ^ + Q   j ^ + R   k ^ é

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Nossa estratégia pra resolver vai ser começar calculando o divergente, depois definindo quem é E e calcular a integral tripla.

Passo 2

O campo F → é:

F → x , y , z = x 2 y z   i ^ + x y 2 z   j ^ + x y z 2   k ^

Então

P = x 2 y z

Q = x y 2 z

R = x y z 2

Derivando P em função de x , com y , z constante:

∂ P ∂ x = ∂ x 2 y z ∂ x = 2 x y z

Derivando Q em função de y , com x , z constante:

∂ Q ∂ y = ∂ x y 2 z ∂ y = 2 x y z

Derivando R em função de y , com x , y constante:

∂ R ∂ z = ∂ x y z 2 ∂ z = 2 x y z

Então o divergente é:

div ⁡ F → = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

= 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z = 6 x y z

Passo 3

A superfície S é definida por x , y , z = 0 e

x = a ,     y = b ,     z = c

Como a , b , c são positivos, o sólido E é definido por:

0 ≤ x ≤ a

0 ≤ y ≤ b

0 ≤ z ≤ c

Assim, a integral fica:

∭ E div ⁡ F → d V = ∫ 0 a ∫ 0 b ∫ 0 c 6 x y z   d z d y d x

Podemos separar essa integral em:

= 6 ∫ 0 a x d x ∫ 0 b y d y ∫ 0 c z d z

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais.

A integral de x :

∫ 0 a x d x = x 2 2 0 a = a 2 2

De y :

∫ 0 b y d y = y 2 2 0 b = b 2 2

E de z :

∫ 0 c z d z = z 2 2 0 c = c 2 2

Então:

6 ∫ 0 a x d x ∫ 0 b y d y ∫ 0 c z d z

= 6 ∙ a 2 2 ∙ b 2 2 ∙ c 2 2

E a integral fica:

∭ E div ⁡ F → d V = 3 4 a 2 b 2 c 2

Resposta

3 4 a 2 b 2 c 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja vec u = (x^2 - y^2) * grad f . Calcular div vec u no ponto P ( 1 , 2,3 ) sendo:a) f = sen x y + x
4 . Desenhe o campo do exercício anterior. (Sugerimos ao leitor desenharalgumas circunferências de centro na origem e, em seguida, desenhar ocampo nos pontos destas circunferências.)a) Olhando o desen
4 . Desenhe o campo do exercício anterior. (Sugerimos ao leitor desenharalgumas circunferências de centro na origem e, em seguida, desenhar ocampo nos pontos destas circunferências.)a) Olhando o desen
Calcule ∫ γ F → . n → d s sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário ) b )F → x , y = y j → , γ éa fronteira do quadrado de vértices (0,0) , (0,1) , (1,1) , (0,1) e n →
Calcule ∫ γ F → . n → d s sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário ) F → x , y = x i → + y j → ,γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,0 ≤ t ≤ 2 πen → é na normal exterior