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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 54

Nos Exercícios de 51 a 56, ache (d y)/(d x) .

54) y = (1)/(sqrt(x - 1))

Passo 1

f ' ( x ) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x_1 + Delta x) - f ( x_1 ))/(Delta x)

Assumindo que f ( x ) = (1)/(sqrt(x - 1)) , temos:

f (x_1 + Delta x) = (1)/(sqrt((x_1 + Delta x) - 1)) e

f (x_1) = (1)/(sqrt((x_1) - 1))

Logo, aplicando na definição:

f ' ( x ) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(sqrt((x_1 + Delta x) - 1)) - [ (1)/(sqrt((x_1) - 1)) ])/(Delta x)

Multiplicando pelo conjugado do numerador, podemos utilizar a diferença de quadrados ( a^2 - b^2 = (a + b) . (a - b) ) e eliminar a indeterminação, veja:

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(sqrt((x_1 + Delta x) - 1)) - [(1)/(sqrt((x_1) - 1))])/(Delta x) . (((1)/(sqrt((x_1 + Delta x) - 1)) + [ (1)/(sqrt((x_1) - 1)) ]))/(((1)/(sqrt((x_1 + Delta x) - 1)) + [ (1)/(sqrt((x_1) - 1)) ]))

Fazendo os devidos cancelamentos, temos:

f^' (x) = (- 1)/(2 . sqrt((x - 1)^3))

Resposta

(d y)/(d x) = (- 1)/(2 . sqrt((x - 1)^3))

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