Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 83
Demonstre a Desigualdade de Taylor para , isto é, demonstre que, se para , então
para
Passo 1
Isso parece complicado né? De fato não é uma questão simples, mas ela assusta mais do que realmente ela é. Para demonstrarmos isso vamos ter que partir de até chegar em , como vamos fazer isso? Seguindo a mesma lógica da demonstração do livro para na página 701, com sucessivas integrações.
Primeiramente, vamos partir de , para um intervalo , ou e vamos integrar a primeira desigualdade em um intervalo de até que significa que vamos começar em , mas deixaremos o fim variar dentro do intervalo . Para titulo de organização vamos mudar a variável de para antes de integrar.
Passo 2
Então vamos lá, primeiro partimos de
E vamos integrar ambos os lados da desigualdade
Passo 3
Então isolamos e repetimos o processo
Integrando
Isolando
Integrando novamente para finalmente chegarmos em
Isolando agora o termo que contém
Passo 4
Repara que eu já coloquei o menos em evidencia ali e podemos ver que o que está dentro do parênteses é , não consegue ver? Vamos deixar a cara dele igual a soma de Taylor
Então temos na desigualdade
E por definição , então , logo
Passo 5
Se seguirmos os mesmos passos para em um intervalo , ou chegaremos em
Então podemos generalizar de forma que, para para temos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)