Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 83

Demonstre a Desigualdade de Taylor para , isto é, demonstre que, se para , então

para

Passo 1

Isso parece complicado né? De fato não é uma questão simples, mas ela assusta mais do que realmente ela é. Para demonstrarmos isso vamos ter que partir de até chegar em , como vamos fazer isso? Seguindo a mesma lógica da demonstração do livro para na página 701, com sucessivas integrações.

Primeiramente, vamos partir de , para um intervalo , ou e vamos integrar a primeira desigualdade em um intervalo de até que significa que vamos começar em , mas deixaremos o fim variar dentro do intervalo . Para titulo de organização vamos mudar a variável de para antes de integrar.

Passo 2

Então vamos lá, primeiro partimos de

E vamos integrar ambos os lados da desigualdade

Passo 3

Então isolamos e repetimos o processo

Integrando

Isolando

Integrando novamente para finalmente chegarmos em

Isolando agora o termo que contém

Passo 4

Repara que eu já coloquei o menos em evidencia ali e podemos ver que o que está dentro do parênteses é , não consegue ver? Vamos deixar a cara dele igual a soma de Taylor