Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 85
Use os seguintes passos para demonstrar (17).
- Seja . Derive esta série para mostrar que
- Façaa e mostre que
- Deduza que
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo tranquilo?
A questão pede para usar os passos a), b) e c) para demonstrar a equação 17 do nosso livro.
A equação 17 é aquela que define a série binomial:
Se for um número real qualquer e , então:
Então vamos fazer as demonstrações e deduções que o enunciado pede, sempre pensando em provar a equação acima.
Vamo lá!
Passo 2
- Como o enunciado pede, vamos derivar
- Para derivar vamos usar a regra do produto e a relação que provamos no item anterior
- Como no item (b) nós provamos que para todo , podemos concluir que , onde é uma constante real.
Como tudo que sai de é constante, tiramos da derivada. Derivando termo a termo da soma:
Passo 3
Como queremos provar
Podemos provar que , que chegamos na mesma conclusão.
Cujos termos são (como é muito longa essa soma, ela está quebrada em várias linhas):
Multiplicando o que está fora dos parênteses para dentro:
Se somarmos termos com potencias de iguais
Para podemos colocar em evidencia
Para podemos colocar em evidencia
Multiplicando o :
Substituindo na série
Fazendo as multiplicações dos termos fora dos parênteses
Colocando em evidencia
Então provamos que
Passo 4
Passo 5
Usando o fato de que
Calculando com
E podemos calcular utilizando a série de , então
Como é constante para todo
Usando isso, vamos voltar para e substituir o que achamos
Como tem expoente negativo, podemos escrevê-la como:
Isolando na equação:
Resposta
Letras a), b) e c) demonstradas.