Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.11 - Ex. 14
- Expanda como uma série de potências.
- Utilize a parte (a) para estimar com precisão de três casas decimais.
Passo 1
E aí, futuro cientista, preparado para usar todo o seu talento em cálculo nesta questão de cálculo? Vamos lá!
Para expandir como uma série de potências, primeiro precisamos reescrever essa expressão de uma forma que possamos usar a série binomial:
Isso nos permite aplicar a fórmula da série binomial, que é usada para expandir expressões da forma em uma soma infinita de termos.
Depois de obter a expansão da série, podemos usá-la para estimar . Para isso, usaremos o Teorema das Séries Alternadas para determinar quantos termos da série precisamos somar para alcançar a precisão desejada.
Passo 2
(a) Primeiro, reescrevemos a expressão como . Agora podemos usar a fórmula da série binomial para expandir essa expressão. A série binomial é uma fórmula que nos permite expandir expressões da forma como uma soma infinita de termos. A série binomial é dada por:
Onde é o coeficiente binomial generalizado, definido como:
No nosso caso, e . Vamos expandir usando a série binomial:
Vamos calcular os primeiros termos da série:
Assim, os primeiros termos da expansão são:
Passo 3
(b)Agora, vamos usar o Teorema de Estimativa das Séries Alternadas para determinar quantos termos da série precisamos somar para obter uma precisão de três casas decimais.
O teorema nos diz que o erro ao aproximar uma série alternada pela soma dos primeiros termos é dado pelo módulo do próximo termo na série:
Onde é o próximo termo da série em módulo, então
Para encontrarmos precisamos que , então
Para uma precisão de três casas, precisamos que , então vamos testando valores de .
Para
Para temos o que já é suficiente para a precisão desejada.
Passo 4
Então podemos estimar
Resposta
(a)
(b)