Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 42
Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
[Sugestão: Use ]
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz?
Vamos começar relembrando nossa série de Maclaurin, que é um caso especial da série de Taylor, onde . Na série de Maclaurin, uma função é representada como uma soma infinita de termos (que já sabemos que nada mais é que uma série) calculados a partir de suas derivadas em zero. O termo geral da série e seus termos, tem a forma de:
A tabela 1 do nosso livro traz algumas séries de Maclaurin importantes e que são comuns, então o autor compilou e deixou separado pra gente. Nessa tabela temos a função e sua série de Maclaurin correspondente e também já traz o valor do Raio de convergência.
Nesse caso a questão pede para obtermos essa série da função:
Note que o próprio enunciado já traz uma outra forma mais prática de escrever essa função:
Na tabela já está pronta a série de Maclaurin para, então vamos partir dela para achar a de.
Vamo lá!
Passo 2
Temos que achar a série de Maclaurin para:
Olhando a tabela 1, já temos prontinha a forma de Maclaurin para :
Então para encontrar a série de , vamos substituir na série por , então:
Podemos aplicar o expoente em cada termo que está multiplicando:
Agora que temos o valor de, substituímos na função
Se substituirmos na série temos que o primeiro termo é , podemos cancelar com o de fora da soma, fazendo a série começar em , já que cancelamos o termo com :
Podemos ainda colocar o menos e o para somar nos expoentes da série:
Então, essa é nossa série de Maclaurin para .