Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 43
Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
Passo 1
Faala, beleza?
Essa questão ta pedindo a série de Maclaurin pra função , mas não precisamos desenvolver a série do zero! A gente vai usar uma série já conhecida pra chegar na função que a questão deu.
Vamos começar voltando na Tabela 1 pra lembrar qual a série para a função :
Então:
Além disso, a função que nós vamos encontrar a série é a parte que :
Nós vamos substituir nessa função a série do , e depois ajeitar pra ficar com cara de uma série!
No final, vamos analisar o caso .
Passo 2
Então vamos começar substituindo o pela sua série de potências:
Só que percebe que o primeiro termo dessa série () fica assim:
Então se a gente separar esse termo na nossa função fica assim:
Agora vamos simplificar o , e reescrever :
Esse e o sinal ““ podem entrar na nossa série e fica assim:
E pronto! Essa é a série de Maclaurin para
Passo 3
Vamos ter então o seguinte:
Agora vamos analisar se a gente substituir … Nesse caso, temos na parte da esquerda uma indeterminação, mas a série da esquerda, vale , né? Já que é igual a função da esquerda para todos os valores, menos , e a série converge para para todos os valores de … Resumindo, vamos ter que nossa função será:
E colocando formato de série, pra ficar bonitinho, temos:
Show de bola! Conseguimos!