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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 26

Demonstre a Equação 4.

Passo 1

Falaeee, belezinha? Bom... a questão nos pede para a gente demonstrar a seguinte equação:

c o s h^(- 1) x = ln ( x + sqrt(x ² - 1) )

Para a gente fazer isso, vamos usar essas identidades:

c o s h ² x - s e n h^2 x = 1

c o s h x + s e n h x = e^x

Agora bora lá!!

Passo 2

Substituindo x por y:

c o s h ² y - s e n h^2 y = 1

c o s h y + s e n h y = e^y

Se isolarmos o cseno da primeira relação:

s e n h ² y = 1 - c o s h^2 y

Tiramos a raiz:

s e n h y = sqrt(1 - c o s h^2 y)

Passo 3

Usando as propriedades do inverso do cosseno podemos chamar:

y = c o s h^(- 1) x

Sendo assim:

c o s h y = x

Substituindo na equação do passo 1:

s e n h y = sqrt(1 - x ²)

Agora só precisamos substituir estes dados na relação do Exercício 9:

sqrt(1 - x ²) + x = e^y

Para retirar o y elevado ao expoente aplicamos ln dos dois lados:

ln e^y = ln ( sqrt(1 - x ²) + x )

y = ln ( sqrt(1 - x ²) + x )

Reorganizando:

c o s h^(- 1) x = ln ( sqrt(1 - x ²) + x )

Certinho?!

Resposta

Demonstração

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